slt tout le monde!
voila j'ai un dm de math à faire sur les fonctions et j'arrive pas à démarrer
Soit f la fonction définie sur l'intervalle o plus l'infini ouvert par f(x)=1/2x+1/x
après mûres réflexions on peut modifier l'expression de f(x) - modifié par Zorro
et u est la suite définie par u0=2
pour tout n, Un+1=f(Un)
1. Etude de la fonction
a.dresser le tableau de variation de la fonction f
b. C est la courbe représentative ds le plan muni d'un repere orthonrmal
il faut montrer que C admet deux droites asymptotes dont on doit donner les equations
(là j'ai un probleme je ne sais plus du tout comment faire)
c. tracer la courbe
2. Etude de la convergence de la suite Un
a. montrer que pour tout entier naturel n on a √2 strictement inférieur à Un+1 lui meme strictement inférieur à Un
b. déduire que la suite u est convergente vers un réel L
(alors la je crois qu'il faut dire qu'elle est minorée et décroissante et donc qu'elle tend vers un réel L, c'est cela??)
c. Montrer que f(L)=L et calculer L
3. Etude de la rapidité de convergence de la suite u ( alors ca je n'y ai jamais fait)
a. verifier que pour tout entier naturel n,
Un+1-√2= (Un-√2)²/(2Un)
b. montrer que 1/(2Un) ≤ 1/2, en déduire que pour tout n ∈ a N, 0 ≤ Un+1 - √2 ≤ 1/2(Un-√2)²
c. montrer que pour tout entier n ∈ N, 0 ≤ Un-√2 ≤ (1/2)An avec An= 2n-1
d. donner un encadrement de U6-√2
Edit de J-C: j'ai modifié l'expression du 3) qui posait des problèmes d'affichage (certains lisant Un√2 au lieu de Un+1-√2, tout le monde s'embrouillait).
cette fonction est de façon générale définie sur R-{0}.
pour les variations de f, il suffit de savoir que 1/(2x) et 1/x sont toutes deux décroissantes sur R+ ainsi que sur R- : f est donc décroissante sur les deux branches de son ensemble de définition. Ici, seul ]0 ; +∞[ est attendu.
1b
il y a une limite infinie lorsque x tend vers 0 et une limite nulle lorsque x tend vers +∞ : donc deux asymptotes, la première verticale (x=0), la seconde horizontale (y=0).
mais il faut pas calculer la dérivée de la fonction pour faire le tableau dans le 1a??
sinon pour les asymptotes j'ai bien compris ce que tu m'as dit mais j'explique comment dans mon devoir?
je ne peux pas balancer sa comme ca non?
la dérivée n'est pas indispensable pour trouver les variations : ce n'est qu'un outils (parmi d'autres) qui permet de les trouver.
réfléchis : si une quantité q est décroissant et si une qutre quantité Q est aussi décroissante sur le même intervalle, alors leur somme q + Q sera aussi décroissante, non ?
voici comment faire pour les asymptotes : puisque f est définie sur ]0 ; +∞[, la question se pose aux bornes de cet intervalle.
d'une part, on a (je te laisse compléter les trous) ce qui implique que la droite d'équation x=0 est asymptote "verticale" à la courbe de f
d'autre part, on a , ce qui implique que la droite d'équation y=0 est asymptote "horizontale" à la courbe de f.
ok pour ca
dans les petits trous en fait je recopie juste1/2x+1/x??
sinon pour les équations de ces droites
je ne sias plus du tout comment on fait
enfin....
et pour tracer C??
sinon jusque la je te suis a 100 pour cetn
merci
ah oui un autre truc aussi
à la place de R+ et R-
je peux pas écrire intervalle ??
R+ c'est bien R privé de 0 R- c'est R privé de 1??
ou c'est l'inverse??
ok
c'est bon pour cela
ensuite pour expliquer les pointillés je fais comment??
si on pour la suite
tu peux me donner un petit coup de main ossi stp?
merci beaucoup
donc voila
apres avoir tracer la courbe
je peux passer au 2
c'est a dire
montrer que la racine de 2 est plus petite que Un+1 lui meme inférieur à Un
?????
Attention : il faut que tu confirmes que la fonction que j'écris est la bonne et que ce n'est pas plutôt par exemple ou bien sinon, on parle dans le vent...
La décroissance de f montre déjà le seconde inégalité par réccurence ; car si alors en appliquant f aux deux membres, on obtient bien .
Ah il faudrait aussi voir que ça marche entre U_1 et U_0 pour fonder la récurrence...
ok je vois tres bien
ici
on prend f(x)= 1/2 x +1/2
mais je vois pas pourquoi tu m'as parlé de f(x)= 1/2(x+1/x) cette égalité ne va pas non??
et j'ai vérigié aussi que cela marche bien pour U1 et U0
ensuite...
euh....
ya jutse un truc que je ne vois pas
c'est en fait Uo=2 mais en remplacant les x par 0, je ne retombe pas sur U0=2
De meme pour U1
J'ai remplacé dans f(x)=1/2x+1/x par 0 la premiere fois
et j'ai du mal faire car je n'obtient pas U0=2
C'est normal ou c'est que j'ai fait une erreur de calcul?
Zauctore te signalait que l'écriture que tu as utilisée est ambigüe !
Il te demandait dans sa premère réponse si la forme qu'il avait écrite était la bonne ! Or il n'a toujours pas la réponse ; donc il continue de te demander si la forme qu'il utilise est la bonne.
On va donc démontrer par récurrence que √2 < Un+1 < Un
Tu arrives à montrer que c'est vrai pour n = 0 c'est à dire que √2 < U1 < U0
Il suffit de calculer U1
Maintenant on prend comme hypothèse que √2 < Un+1 < Un et on va démontrer que cette relation est vraie au rang n+1 c'est à dire qu'il faut montrer que
√2 < Un+2 < Un+1
Donc on part de
√2 < Un+1 < Un
et Un+1 = f(Un)
et Un+2 = f(Un+1)
On sait que la fonction f est croissante sur [√2 ; +∞[
donc si √2 < Un+1 < Un
comment prouver qu'elle estc roissante, enfin jveux dire comment bien rédiger?
pour la suite
j'aimerai bien finir le petit2
et on fera le 3 demain si sate gene pas,?
et bien, c'est ce qu'il fallait démontrer que Un+1-√2=(Un-√2)²/2Un
ar contre pour démontrer que Un+1-√2= √2Un
je ne vois pas pourquoi ni comment
et sinon, on na pas fait la question c du petit 2 a savoir que montrer que f(L)=L
et calculer L
merci
J'ai donc bien réussi à montrer que Un+1 - √2 = (Un - √2)² / 2Un
J'avais juste mis la suite parce que, chez moi, je ne sais pas pourquoi ton expression apparait comme Un√2=(Un-√2)²/2Un . donc dans ce cas la je me posais la question sur la vraie expression à démontrer. Oublie donc mon √2Un cela ne sert à rien
Question suis-je la seule à voir Un√2 = (Un - √2)² / 2Un ?
Ou voyez vous Un+1 -√2 = (Un - √2)² / 2Un ?
Je n'ai vu cette expression qu'en passant par la citation du message de mandinette. Moi je ne vois pas le +1 ni le moins devant √2 dans l'expression de gauche !
