Exercice sur Suite ! (série des inverses)

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	Exercice sur Suite ! (série des inverses)

Juliedeparis	Envoyé: 27.09.2006, 23:50
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 121 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	Bonsoir ! Voila , un petit exercice que je n'arrive pas a resoudre . données: $1$U_{n}=$ ∑_p=1ⁿ 1/p $1$W_{n}=$ ∑_p=n+1²ⁿ 1/p 1. Demontrer que , pour tout entier naturel non nul n , Wn ≥ 1/2 . --> donc , j'utilise la reccurecne , et je trouve : W_n+1 = Wn + 1/[2(n+1)(2n+1)] , et comme n≥1 , alors W_n+1≥ 1/2 , puis je conclus . 2. Etablir , pour tout entier naturel non nul m , l'egalité U_{2_m+1} - U_{2_m} = W_{2_m} Je m'embrouille avec pleins de calcules qui sont faux... 3. En deduire que (Un) n'est pas majorée . 4. Conclure sur la convergence du (Un) Voila merci beaucoup si vous pouvez bien m'aider ! A+ modifié par : Zauctore, 07 Oct 2006 - 14:44


nelly	Envoyé: 28.09.2006, 10:15
Cosmos enregistré depuis: mar. 2005 Messages: 392 Status: hors ligne dernière visite: 26.05.08	Salut! Exercice sur les suites... hum, c'est plutôt des séries! ...enfin bref! Bon, le 1er, par récurrence, tu dois t'en sortir (dis quand même si t'as des soucis) Pour le 2 : U_2n+1 = ∑_p=(2n+1)+1^2(2n+1) (1/p) soit U_2n+1 = ∑ _p=2n+2⁴ⁿ⁺² (1/p) Pour U_2n tu fais pareil! Ensuite, pour faire la différence, il faudra que tu fasses un "changement d'indice"! Est-ce que tu sais comment faire? %%% Prenons un exemple simple : (autre que le tien ) Posons U_n = ∑ _k=0ⁿ k alors U_n+1 = ∑ _k=0ⁿ⁺¹ k Si on fait U_n+1 - U_n = ∑ _k=0ⁿ⁺¹ k - ∑ _k=0ⁿ k La fonction se trouvant sous les 2 signes "∑", tu peux faire un changement d'indice : ie tu peux écrire : U_n+1 = ∑ _k=0ⁿ⁺¹ k = 1 + 2+ ... + n + (n+1) = ∑ _k=0ⁿ k + (n+1) Vois-tu comment j'ai obtenu cela? comme c'est une somme, je peux sortir des éléments du signe ∑ pour les rajouter ensuite! [ tu peux aussi rajouter un terme pour le retrancher ensuite! Style : U_n+1 = ∑ _k=0ⁿ⁺¹ k = 1 + 2+ ... + n + (n+1) = ∑ _k=0ⁿ⁺² k - (n+2) ] De là, mon exemple est ensuite tout bête : U_n+1 - U_n = ∑ _k=1ⁿ k + (n+1) - ∑ _k=1ⁿ k Oh et comme par hasard les 2 "∑" se compensent et il ne reste plus que : U_n+1 - U_n = (n+1) Ensuite tu peux exploiter ce résultat : tu étudies la limite quand n -> +∞ , ça tend toujours vers +∞ donc U_n+1 > U_n donc elle est croissante! ... enfin, voilà! Tu vois comment il faut faire? %%% Revenons à ton exercice : le 3 : (U_n) n'est pas majorée (c'est à dire qu'elle est toujours inférieure à une certaine valeur) : le mieux serait que tu encadres U_n (si tu n'y arrives pas, moi ou quelqu'un d'autre t'aidera), et en étudiant la limite des fonctions qui encadrent U_n, tu devrais trouver ±∞. Là : d'après le théorème d'encadrement (plus connu sous le nom de théorème des gendarmes!!! ), tu pourras conclure que lim _{n -> +∞} U_n = ±∞ donc (U_n) n'est pas majorée, et on peut même dire qu'elle diverge!!! (ah ben.... c'est ta question4 !) Voilà! J'espère que je ne t'ai pas trop perturbé avec mes explications longues et pas toujours claires ! Si tu as un problème, n'hésites surtout pas à revenir... j'essayerai d'être plus claire! Bisous Bisous!!!

Juliedeparis	Envoyé: 28.09.2006, 22:01
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 121 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	Le 1 j'ai deja repondu . Alors , pour le 2. c'est m et non n , mais sa importe peu la Sinon , je sais quand meme faire , mais c'est au niveau de l'egalité de Um avec Wm que je ne comprenais pas : U_2(m+1) - U_2m = $1$ \displaystyle \sum_{p=1}^{2m+2} 1/p- \displaystyle \sum_{p=1}^{2m} 1/p= \sum_{p=1}^{2m} 1/p - \sum_{p=1}^{2m} 1/p + \frac{1}{(2m+1)}+\frac{1}{(2m+2)}= \frac{2m+2}{(2m+1)(2m+2)}+\frac{2m+1}{(2m+2)(2m+1)}=\frac{4m+3}{4m^2+6m+2}$ Et : W_2m= $1$ \displaystyle \sum_{p=2m+1}^{4m} 1/p = \frac{1}{2m+1}+\frac{1}{2m+2}+...+\frac{1}{4m}$ Voila et la je ne vois pas comment W_2m = U_2m+1 - U_2m ! Car pour W2m ya deja $= \frac{1}{2m+1}+\frac{1}{2m+2}+..$ Voila, pour ensuite peut etre faire la suite ! merci a+

Juliedeparis	Envoyé: 03.10.2006, 20:14
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 121 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	svp aidez moi !! je voudrais comprendre avoir le controle ! merci beaucoup

Zauctore	Envoyé: 05.10.2006, 21:27
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3314 Status: hors ligne dernière visite: 16.05.08	Salut. Il y a un problème. D'une part : $U_{2m+1} - U_{2m} = \sum_{p=1}^{2m+1} \frac1p - \sum_{p=1}^{2m} \frac1p = \frac1{2m+1} \ ;$ D'autre part : $W_{2m} = \sum_{p=2m+1}^{4m} \frac1p$ Ces deux quantités ont peu de chance d'être égales ... erreur d'énoncé ? Par contre, on a $U_{2m} - U_m = W_{m}$ puisque $U_{2m} - U_{m} = \sum_{p=1}^{2m} \frac1p - \sum_{p=1}^{m} \frac1p = \frac1{2m} + \cdots +\frac1{m+2} + \frac1{m+1}.$ Z, auctore.

Juliedeparis	Envoyé: 05.10.2006, 22:04
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 121 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	oui erreur denoncé , c'est bon ! c'etait en puissance les m : 2^m .. ! merci beaucoup !

Zauctore	Envoyé: 06.10.2006, 09:22
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3314 Status: hors ligne dernière visite: 16.05.08	En puissance ? Tu veux dire comme ça : $U_{2^{m+1}} - U_{2^m}$ et $W_{2^m}$ ? Z, auctore.

Juliedeparis	Envoyé: 06.10.2006, 17:39
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 121 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	voila ! Et donc , je doit avoir une erreur de calcule car le resultat est encore faux .. $1$ Un = \displaystyle \sum_{p=1}^{n} 1/p$ $1$ Wn = \displaystyle \sum_{p=n+1}^{2n} 1/p$ Donc pour U_2^m : Ma question est : est-ce que le n=^m , ou le n=2^m ? Pour n=^m : $1$ U_{n} = \displaystyle \sum_{p=1}^{m} 1/p$ $1$ U_{n+1} = \displaystyle \sum_{p=1}^{m+1} 1/p$ $1$ Wn = \displaystyle \sum_{p=m+1}^{2m} 1/p$ ou pour n=2^m : $1$ U_{n} = \displaystyle \sum_{p=1}^{2^m} 1/p$ $1$ U_{n+1} = \displaystyle \sum_{p=1}^{2^{m+1}} 1/p$ $1$ W_{n} = \displaystyle \sum_{p=2^m + 1}^{22^m} 1/p$ Alors , si n=2^m: $1$ U_{n+1} - U_{n} =\displaystyle \sum_{p=1}^{2^{m}+1} 1/p - \displaystyle \sum_{p=1}^{2^m} 1/p =\frac {1}{2^{m} + 1$ Et $1$ W_{n} = \displaystyle \sum_{p=2^m + 1}^{22^m} 1/p = \frac {1}{2^m + 1 } + \frac {1}{2^m + 2 } + ... + \frac {1}{2^{m+1} }$ Donc Wn≠ U_n+1 - U_n , pour n = 2^m Maintenant pour n=^m : $1$ U_{n+1} - U_{n} =\displaystyle \sum_{p=1}^{m+1} 1/p - \displaystyle \sum_{p=1}^{m} 1/p =\frac {1}{m+1}$ Et $1$ W_{n} = \displaystyle \sum_{p=m+1}^{2^{2m}} 1/p = \frac {1}{m + 1 } + \frac {1}{m + 2 } + ... + \frac {1}{2^{2m} }$ Donc Wn≠ U_n+1 - U_n , pour n =^m Donc , ou est l'erreur ? Merci ! a+ modifié par : Zauctore, 07 Oct 2006 - 09:03

Zauctore	Envoyé: 06.10.2006, 17:54
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3314 Status: hors ligne dernière visite: 16.05.08	L'erreur est dans ceci, pour $n=2^{m+1}$ , tu as : $U_{2^{m+1}} = \sum_{p=1}^{2^{m+1}}1/p$ qui est différent de $\sum_{p=1}^{2^{m}+1} 1/p$ . Félicitations pour tes efforts de LaTeX ! Remarque : le code pour l'expression de $U_{2^{m+1}}$ est U_{2^{m+1}} = \sum_{p=1}^{2^{m+1}} 1/p. Z, auctore.

Juliedeparis	Envoyé: 06.10.2006, 18:01
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 121 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	donc : $1$ Wn = \displaystyle \sum_{p=n+1}^{2n} 1/p$ d'accord ? Donc $1$ W_{2^m} = \displaystyle \sum_{p=(2^m) +1}^{2*2^m} 1/p$ Donc $1$ W_{2^m} = \frac {1}{(2^m) + 1 } + \frac {1}{(2^m) + 2 } +..+ \frac {1}{2^{m+1}}$ Et U(n+1)-Un = $\frac {1}{2^{m+1}$ Donc c'est bien different entre U2[sup]m+1[/sup]- U2[sup]m[/sup] et W2[sup]m[/sup] Voila ? Merci a toi en tout cas de bien vouloir m'aider !

Juliedeparis	Envoyé: 06.10.2006, 18:45
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 121 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	c'est bon je connais mon erreur ! c'est sur Un+1 !

Juliedeparis	Envoyé: 06.10.2006, 19:00
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 121 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	$1$ W_{2^m} = \frac {1}{(2^m) + 1 } + \frac {1}{(2^m) + 2 } +..+ \frac {1}{2^{m+1}}$ Et U(_2^m+1)-U_2^m = $\frac {1}{2^m +1 } + \frac {1}{2^m +2} + .. + \frac {1}{2^{m+1} }$ Voila , donc W_2^m = U_U(+1) - Un . Donc , apres avoir fais cela , en deduire : b. Deduire que : $1$ W_{2^{m+1} }= 1 + \displaystyle \sum_{k=1}^{m} W_{2^k}$ Donc : $1$ W_{2^k}= \displaystyle \sum_{p=2^k +1}^{2^{k+1}} = \frac {1}{2^k +1} + \frac {1}{2^k +2} + .. + \frac {1}{2^{k+1}}$ Donc : $1$ \displaystyle \sum_{k=1}^{m} W_{2^k}= ( \frac {1}{2^1+1} + \frac {1}{2^1+2} + .. + \frac {1}{2^{1+1}}) + ( \frac {1}{2^2+1} + \frac {1}{2^2+2} + .. + \frac {1}{2^{2+1}}) + ( \frac {1}{2^3+1} + \frac {1}{2^3+2} + .. + \frac {1}{2^{3+1}}) + .. + (\frac {1}{2^m+1} + \frac {1}{2^m+2} + .. + \frac {1}{2^{m+1}})$ $1$ = ( \frac {1}{3} + \frac {1}{4}) + ( \frac {1}{5} + \frac {1}{6} + \frac {1}{7} + \frac {1}{8})+ (\frac {1}{9} + \frac {1}{10}) + ( \frac {1}{11} + \frac {1}{12} + ... + \frac {1}{16} ) + (\frac {1}{2^m+1} + \frac {1}{2^m+2} + .. + \frac {1}{2^{m+1}}) = \frac {1}{3} + \frac {1}{4} + \frac {1}{5} +... + \frac {1}{2^{m+1}})$ Donc : $1$ 1 + \displaystyle \sum_{k=1}^{m} W_{2^k} = 1 + \frac {1}{3} + \frac {1}{4} + \frac {1}{5} +... + \frac {1}{2^{m+1}}$ Et $1$ U_{2^{m+1}} = 1 + \frac {1}{2} + \frac {1}{3} + \frac {1}{4} + \frac {1}{5} +... + \frac {1}{2^{m+1}}$ Donc , je remarque qu'il manque un '1/2' , dans $1 + \displaystyle \sum_{k=1}^{m} W_{2^k}$ , ou est mon erreur ? ! je ne la voi pas . Merci beaucoup ! ps : le plus dure dans l'exercice , c'est de l'ecrire avec Latex :)

Juliedeparis	Envoyé: 06.10.2006, 20:30
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 121 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	cela doit etre une erreur d'enoncer !

Zauctore	Envoyé: 07.10.2006, 14:25
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3314 Status: hors ligne dernière visite: 16.05.08	Toi t'es du genre à aimer le labeur... quel effort de code ! sans compter les calculs. Sers-toi plutôt de $W_{2^k} = U_{2^{k+1} - U_{2^k}$ pour alléger les calculs, car alors la somme entre 1 et m des $W_{2^k}$ soit sacrément s'arranger par "télescopage". Le problème du 1/2 vient de ce que ta série des $W_{2^k}$ a ses indices entre 1 et m ; s'ils étaient entre 0 et m, ça irait mieux... c'est sans doute une erreur d'énoncé (et pas d'énoncer). @+ modifié par : Zauctore, 07 Oct 2006 - 14:43 Z, auctore.

Juliedeparis	Envoyé: 09.10.2006, 20:11
Voie lactée enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 121 Status: hors ligne dernière visite: 06.11.06	oki , merci , oui il faudrait que ça commence pour k=0 , pour avoir ce 1/2 ! désolée pour l'orthographe . a+ merci pour tout !