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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

Exercice sur Suite ! (série des inverses)

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 27.09.2006, 23:50

Voie lactée
Juliedeparis

enregistré depuis: oct.. 2005
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Bonsoir !
Voila , un petit exercice que je n'arrive pas a resoudre .

données:
p=1n 1/p
p=n+12n 1/p

1. Demontrer que , pour tout entier naturel non nul n , Wn ≥ 1/2 .

--> donc , j'utilise la reccurecne , et je trouve : Wn+1 = Wn + 1/[2(n+1)(2n+1)] , et comme n≥1 , alors Wn+1≥ 1/2 , puis je conclus .

2. Etablir , pour tout entier naturel non nul m , l'egalité U2m+1 - U2m = W2m

Je m'embrouille avec pleins de calcules qui sont faux...

3. En deduire que (Un) n'est pas majorée .
4. Conclure sur la convergence du (Un)

Voila merci beaucoup si vous pouvez bien m'aider !
A+

modifié par : Zauctore, 07 Oct 2006 - 14:44
Top 
 
Envoyé: 28.09.2006, 10:15

Cosmos
nelly

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Salut!

Exercice sur les suites... hum, c'est plutôt des séries! ...enfin bref!

Bon, le 1er, par récurrence, tu dois t'en sortir (dis quand même si t'as des soucis) icon_wink

Pour le 2 :

U2n+1 = ∑p=(2n+1)+12(2n+1) (1/p)
soit U2n+1 = ∑ p=2n+24n+2 (1/p)
Pour U2n tu fais pareil!

Ensuite, pour faire la différence, il faudra que tu fasses un "changement d'indice"! Est-ce que tu sais comment faire? icon_confused

%%%
Prenons un exemple simple : (autre que le tien icon_biggrin )
Posons Un = ∑ k=0n k
alors Un+1 = ∑ k=0n+1 k

Si on fait Un+1 - Un = ∑ k=0n+1 k - ∑ k=0n k
La fonction se trouvant sous les 2 signes "∑", tu peux faire un changement d'indice :
ie tu peux écrire :
Un+1 = ∑ k=0n+1 k = 1 + 2+ ... + n + (n+1) = ∑ k=0n k + (n+1)

Vois-tu comment j'ai obtenu cela? icon_eek comme c'est une somme, je peux sortir des éléments du signe ∑ pour les rajouter ensuite! [ tu peux aussi rajouter un terme pour le retrancher ensuite! Style : Un+1 = ∑ k=0n+1 k = 1 + 2+ ... + n + (n+1) = ∑ k=0n+2 k - (n+2) ]

De là, mon exemple est ensuite tout bête :
Un+1 - Un = ∑ k=1n k + (n+1) - ∑ k=1n k

Oh et comme par hasard les 2 "∑" se compensent et il ne reste plus que :
Un+1 - Un = (n+1)

Ensuite tu peux exploiter ce résultat : tu étudies la limite quand n -> +∞ , ça tend toujours vers +∞ donc Un+1 > Un donc elle est croissante!
... enfin, voilà! Tu vois comment il faut faire?
%%%


Revenons à ton exercice :

le 3 : (Un) n'est pas majorée (c'est à dire qu'elle est toujours inférieure à une certaine valeur) : le mieux serait que tu encadres Un (si tu n'y arrives pas, moi ou quelqu'un d'autre t'aidera), et en étudiant la limite des fonctions qui encadrent Un, tu devrais trouver ±∞.
Là : d'après le théorème d'encadrement (plus connu sous le nom de théorème des gendarmes!!! icon_lol ), tu pourras conclure que lim n -> +∞ Un = ±∞ donc (Un) n'est pas majorée, et on peut même dire qu'elle diverge!!! (ah ben.... c'est ta question4 !)

Voilà!
J'espère que je ne t'ai pas trop perturbé avec mes explications longues icon_eek et pas toujours claires icon_rolleyes ! Si tu as un problème, n'hésites surtout pas à revenir... j'essayerai d'être plus claire!

Bisous Bisous!!! icon_razz
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Envoyé: 28.09.2006, 22:01

Voie lactée
Juliedeparis

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Le 1 j'ai deja repondu .
Alors , pour le 2. c'est m et non n , mais sa importe peu la icon_smile

Sinon , je sais quand meme faire , mais c'est au niveau de l'egalité de Um avec Wm que je ne comprenais pas :

U2(m+1) - U2m =

Et :

W2m=

Voila et la je ne vois pas comment W2m = U2m+1 - U2m ! Car pour W2m ya deja

Voila, pour ensuite peut etre faire la suite ! icon_lol

merci a+
Top 
Envoyé: 03.10.2006, 20:14

Voie lactée
Juliedeparis

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svp aidez moi !! je voudrais comprendre avoir le controle !
merci beaucoup
Top 
Envoyé: 05.10.2006, 21:27

Modérateur
Zauctore

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Salut. Il y a un problème.


D'une part :



D'autre part :



Ces deux quantités ont peu de chance d'être égales ... erreur d'énoncé ?



Par contre, on a



puisque
Top 
Envoyé: 05.10.2006, 22:04

Voie lactée
Juliedeparis

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oui erreur denoncé , c'est bon ! c'etait en puissance les m : 2^m .. !
merci beaucoup !
Top 
Envoyé: 06.10.2006, 09:22

Modérateur
Zauctore

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En puissance ?

Tu veux dire comme ça : et ?
Top 
Envoyé: 06.10.2006, 17:39

Voie lactée
Juliedeparis

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voila !
Et donc , je doit avoir une erreur de calcule car le resultat est encore faux ..





Donc pour U2m :
Ma question est : est-ce que le n=m , ou le n=2m ?

Pour n=m :







ou pour n=2m :








Alors , si n=2m:



Et

Donc Wn≠ Un+1 - Un , pour n = 2m

Maintenant pour n=m :




Et

Donc Wn≠ Un+1 - Un , pour n =m

Donc , ou est l'erreur ?

Merci !
a+

modifié par : Zauctore, 07 Oct 2006 - 09:03
Top 
Envoyé: 06.10.2006, 17:54

Modérateur
Zauctore

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L'erreur est dans ceci, pour , tu as : qui est différent de .


Félicitations pour tes efforts de LaTeX !

Remarque : le code pour l'expression de est
U_{2^{m+1}} = \sum_{p=1}^{2^{m+1}} 1/p.
Top 
Envoyé: 06.10.2006, 18:01

Voie lactée
Juliedeparis

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donc :

d'accord ?

Donc
Donc

Et U(n+1)-Un =

Donc c'est bien different entre U2m+1- U2m et W2m

Voila ?

Merci a toi en tout cas de bien vouloir m'aider !
Top 
Envoyé: 06.10.2006, 18:45

Voie lactée
Juliedeparis

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c'est bon je connais mon erreur ! c'est sur Un+1 !
Top 
Envoyé: 06.10.2006, 19:00

Voie lactée
Juliedeparis

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dernière visite: 06.11.06


Et U(2m+1)-U2m =

Voila , donc W2m = UU(+1) - Un .

Donc , apres avoir fais cela , en deduire :
b. Deduire que :



Donc :



Donc :





Donc :


Et

Donc , je remarque qu'il manque un '1/2' , dans , ou est mon erreur ? ! je ne la voi pas .

Merci beaucoup !

ps : le plus dure dans l'exercice , c'est de l'ecrire avec Latex :)
Top 
Envoyé: 06.10.2006, 20:30

Voie lactée
Juliedeparis

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cela doit etre une erreur d'enoncer !
Top 
Envoyé: 07.10.2006, 14:25

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Toi t'es du genre à aimer le labeur... quel effort de code ! sans compter les calculs.

Sers-toi plutôt de pour alléger les calculs, car alors la somme entre 1 et m des soit sacrément s'arranger par "télescopage".

Le problème du 1/2 vient de ce que ta série des a ses indices entre 1 et m ; s'ils étaient entre 0 et m, ça irait mieux...

c'est sans doute une erreur d'énoncé (et pas d'énoncer).

@+

modifié par : Zauctore, 07 Oct 2006 - 14:43
Top 
Envoyé: 09.10.2006, 20:11

Voie lactée
Juliedeparis

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dernière visite: 06.11.06
oki , merci , oui il faudrait que ça commence pour k=0 , pour avoir ce 1/2 !
désolée pour l'orthographe .

a+ merci pour tout !
Top 


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