Problème de suite

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	Problème de suite

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Ferdi92	Envoyé: 25.09.2006, 18:18
Constellation enregistré depuis: fév. 2006 Messages: 43 Status: hors ligne dernière visite: 12.06.07	Bonsoir J'ai un petit exercice de suite et je ne comprends ou pas bien la question ou je ne sais pas comment procéder pour y répondre^^. Alors soit u_n et v_n deux suites réelles avec n ∈ N. u₁=13 u_n+1=((u_n+2v_n)/3) avec n≥1 et v₁=1 v_n+1=((u_n+3v_n)/4) avec n≥1 On me demande des conjectures...J'y arrive... On me demande de démontrer par récurrence que pour tout n≥1 u_n≥v_n. J'y arrive aussi^^. On me demande: "En déduire que les suites u_n et v_n sont monotone" (avec n qui ∈ à N*,pour les 2 suites). C'est ça que je comprends pas... Pour moi une suite monotone c'est: "Dire que u est monotone signifie que u est croissante ou décroissante" Est ce queje me trompe sur ma définition et ,si je ne me trompe pas pourriez vous m'aidez? Merci d'avance PS:J'ai compris que u_n-v_n≥0...Mais je ne vois pas en quoi que l'une soit croissante ou décroissante ou non monotone change quelque chose à l'égalité ci dessous...Tant que u est supérieur à v elle peut faire des vagues ,non(courbe en forme de vague)?


Zorro	Envoyé: 25.09.2006, 20:38
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 5098 Status: hors ligne dernière visite: 13.05.08	on part de $u _{n} \geq v_n$ donc en multipliant par 2 $2u _{n} \geq 2v_n$ on ajoute $u _{n}$ aux 2 termes de cette inéquation $3u _{n} \geq {2v_n + u _{n}}$ on divise par 3 $\frac{3u _{n}}{3} \geq {\frac{2v_n + u _{n}}{3}}$ et là on reconnait $u _{n} \geq {\frac{2v_n + u _{n}}{3}}$ soit $u _{n} \geq {u _{n+1}}$ donc u est décroissante. tu essayes d'utiliser la même méthode pour v en partant de $v _{n} \leq u_n$

Ferdi92	Envoyé: 25.09.2006, 23:00
Constellation enregistré depuis: fév. 2006 Messages: 43 Status: hors ligne dernière visite: 12.06.07	Merci. Mon exo étant en fait un devoir,je ferais peut être encore appel à vous sur ce message(pour pas flooder). J'ai réussit v_n ≤u_n parce qu'on m'a mis sur la voix^^.

Zorro	Envoyé: 25.09.2006, 23:20
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 5098 Status: hors ligne dernière visite: 13.05.08	J'ai du mal à comprendre comment on pourrait répondre à un questionnement selon que ce soit un exo ou un devoir !!! Si tu poses une question c'est que tu as une interrogation sur la façon de résoudre le problème !!! que ce soit pour un exo ou pour un devoir !!! Notre réponse ne changera pas .... Tu nous disais que tu avais réussi à montrer que u_n >= v_n donc je me sers de cette info pour ma démonstration (comme le sujet le suggère puisqu'il est dit "" en déduire que les suites sont monotones "") As-tu réussi à montrer que la suite V était croissante ou décroissante ?

Ferdi92	Envoyé: 26.09.2006, 19:30
Constellation enregistré depuis: fév. 2006 Messages: 43 Status: hors ligne dernière visite: 12.06.07	Je crois que j'ai du mal m'exprimer...Enfin y a eu une incompréhension. Par votre raisonnement je trouve que v est croissante. Ensuite on me demande de faire le raisonnement à l'aide de Suite auxiliaires. Je note w même chose que w_n pour simplifier,aussi t même chose que t_n,v même chose que v_n et u même chose que u_n. On pose w=v-u Je demontre que la suite est géométrique,on me demande son expression en fonction de n qui est w=-12×(1/12^{^n}) On pose t=3×u+8×v Je demontre que la suite est constante en montrant que t_n+1=t_n(j'ai quand même besoin des indices...) Dois je utiliser pour montrer que la suite est constante un raisonnement par récurrence ou démontrer que t_n+1=3×u+8×v suffit amplement? Je calcule t constante qui est égal à 47. On me demande alors "en déduire les expressions u_n et v_n en fonction de n,puis préciser la limite des suites (u_n) et (v_n)". Je fais une sorte de système: 3u+8v=47 v-u=-12×(1/12ⁿ) Je résouds et je trouve v_n=(-36×(1/12ⁿ)+47)/11 et u_n=(47+96×(1/12ⁿ))/11. Mais voilà,au début de l'exercice j'avais calculé u_1,2,3,4 et v_1,2,3,4 et mes suites sont bonne sauf que u₁=5 d'après ma suite or il est égal à 13 dans l'énoncé.Donc u₁=u₂(d'après ce que j'ai trouvé...) La suite est bonne (au niveau de l'évolution des valeurs) mais elle est décalée vers "l'arrière"... De même pour v_n... Ou est ma faute? Merci d'avance

Zorro	Envoyé: 26.09.2006, 20:03
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 5098 Status: hors ligne dernière visite: 13.05.08	Je comprends, maintenant, tu voulais nous prévenir que ce n'était que le début d'un exercice plus long. Oublie ma réaction. Je regarde ce que tu as fait et je reviens.

Zorro	Envoyé: 26.09.2006, 20:23
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 5098 Status: hors ligne dernière visite: 13.05.08	Cela vient de ton expression de w_n en fonction de n si w_n est une suite géométrique de raison q $w_{n} = w_{0} \quad q^n$ ou $w_{n} = w_{1} \quad q^{n-1}$ si tu montres que pour tout n > 1, on a t_n+1 = t_n pas besoin de passer par un récurrence. Tes calculs de u_n et v_n seraient justes si tu avais la bonne expression de w_n modifié par : Zorro, 26 Sep 2006 - 20:27

Ferdi92	Envoyé: 26.09.2006, 22:16
Constellation enregistré depuis: fév. 2006 Messages: 43 Status: hors ligne dernière visite: 12.06.07	Effectivement,je me suis légèrement trompé quant à l'expression de w_n... Donc je trouve la vraie bonne réponse:w_n=-12×(1/12^n-1) Je remplace l'ancien w_n par celui trouvé ci dessus et en vérifiant je trouve la bonne réponse... Merci