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limites et asymptotes |
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edouard
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Envoyé: 24.09.2006, 17:52
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enregistré depuis: mar. 2006
Messages: 4
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dernière visite: 24.09.07
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Bonjour, j'aimerai bien un peu d'aide pour cet exercice, parce que je n'arrive pas à le faire :
"On pose f(x)= x + √(x²+x+1) pour tout réel x.
Montrer que les droites d'équations y=2x+1/2 et y= -1/2 sont asymptotes à la courbe d'équation y=f(x)."
En fait, je tombe sur une forme indéterminée de la forme 0 fois l'infini, alors j'ai songé à utiliser la forme conjuguée mais ça ne semble pas être la bonne technique pour lever l'indétermination.
Merci de votre aide.
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Zorro
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Envoyé: 25.09.2006, 15:05
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Modératrice
enregistré depuis: oct. 2005
Messages: 5098
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dernière visite: 13.05.08
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bonjour,
Lever l'indétermination en moins l'infini est, en fait, un peu complexe ; il faut bien passer par le nombre conjugué
 = x + sqrt{x^2+x+1} = \frac{( x + sqrt{x^2+x+1}) \quad (x - sqrt{x^2+x+1}) }{x - sqrt {x^2+x+1}} )
 = \frac{ x^2 -(x^2+x+1)}{x - sqrt{x^2+x+1}} = \frac{-x-1}{x - sqrt{x^2+x+1}} )
puis mettre x2 en facteur sous la racine
 = \frac{-x-1}{x - sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})} )
or on cherche la limite en moins l'infini donc x négatif donc
donc  = \frac{-x-1}{x -\left| {x} \right| sqrt{(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})} )
 = \frac{-x-1}{x +x sqrt{(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})} )
or  = 1)
donc  = \lim _{x \rightarrow {-} \infty}\quad {(\frac{-x-1}{2x})} = \quad \frac{-1}{2})
donc y =-1/2 est bien asymptote
modifié par : Zorro, 25 Sep 2006 - 15:16
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Zorro
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Envoyé: 25.09.2006, 15:18
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Modératrice
enregistré depuis: oct. 2005
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dernière visite: 13.05.08
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pour l'autre asymptote y=2x+1/2
il faut montrer qu' en plus l'infini la limite de f(x) - (2x + 1/2) est égale à 0
à y regarder de plus près je trouve que la limite de f(x) - (2x + 1/2) est égale à -1/2
l'asymptote ne serait pas plutôt y = 2x ??
car, en plus l'infini, la limite de f(x) - 2x est égale à 0
trouvé en mettant x2 en facteur sous la racine et ici x > 0 donc |x| = x
modifié par : Zorro, 25 Sep 2006 - 15:31
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