Trouver les limites et asymptotes d'une fonction avec racines carrées


  • E

    Bonjour, j'aimerai bien un peu d'aide pour cet exercice, parce que je n'arrive pas à le faire :

    "On pose f(x)= x + √(x²+x+1) pour tout réel x.
    Montrer que les droites d'équations y=2x+1/2 et y= -1/2 sont asymptotes à la courbe d'équation y=f(x)."

    En fait, je tombe sur une forme indéterminée de la forme 0 fois l'infini, alors j'ai songé à utiliser la forme conjuguée mais ça ne semble pas être la bonne technique pour lever l'indétermination.

    Merci de votre aide.


  • Zorro

    bonjour,

    Lever l'indétermination en moins l'infini est, en fait, un peu complexe ; il faut bien passer par le nombre conjugué

    f(x)=x+sqrtx2+x+1=(x+sqrtx2+x+1)(x−sqrtx2+x+1)x−sqrtx2+x+1f(x) = x + sqrt{x^2+x+1} = \frac{( x + sqrt{x^2+x+1}) \quad (x - sqrt{x^2+x+1}) }{x - sqrt {x^2+x+1}}f(x)=x+sqrtx2+x+1=xsqrtx2+x+1(x+sqrtx2+x+1)(xsqrtx2+x+1)

    f(x)=x2−(x2+x+1)x−sqrtx2+x+1=−x−1x−sqrtx2+x+1f(x) = \frac{ x^2 -(x^2+x+1)}{x - sqrt{x^2+x+1}} = \frac{-x-1}{x - sqrt{x^2+x+1}}f(x)=xsqrtx2+x+1x2(x2+x+1)=xsqrtx2+x+1x1

    puis mettre x2x^2x2 en facteur sous la racine

    $f(x) = \frac{-x-1}{x - sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}$

    or on cherche la limite en moins l'infini donc x négatif donc

    sqrtx2=∣x∣=−xsqrt{x^2} = \left| {x} \right| = -xsqrtx2=x=x

    donc $f(x) = \frac{-x-1}{x -\left| {x} \right| sqrt{(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}$

    $f(x) = \frac{-x-1}{x +x sqrt{(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})}$

    or lim⁡x→−∞(1+1x+1x2)=1\lim _{x \rightarrow {-} \infty } (1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) = 1limx(1+x1+x21)=1

    donc lim⁡x→−∞f(x)=lim⁡x→−∞(−x−12x)=−12\lim _{x \rightarrow {-} \infty} f(x) = \lim _{x \rightarrow {-} \infty}\quad {(\frac{-x-1}{2x})} = \quad \frac{-1}{2}limxf(x)=limx(2xx1)=21

    donc y =-1/2 est bien asymptote


  • Zorro

    pour l'autre asymptote y=2x+1/2

    il faut montrer qu' en plus l'infini la limite de f(x) - (2x + 1/2) est égale à 0

    à y regarder de plus près je trouve que la limite de f(x) - (2x + 1/2) est égale à -1/2

    l'asymptote ne serait pas plutôt y = 2x ??

    car, en plus l'infini, la limite de f(x) - 2x est égale à 0
    trouvé en mettant x2x^2x2 en facteur sous la racine et ici x > 0 donc |x| = x


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