Note de cours : pourcentage et évolution

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	Note de cours : pourcentage et évolution

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Zauctore	Envoyé: 20.09.2006, 15:33
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3313 Status: hors ligne dernière visite: 29.11.07	Evolution en pourcentage En ce début d'année, de fréquentes questions reviennent sur les pourcentages associés à des évolutions. Voici une note de cours pour fixer les idées. Je rappelle que la connaissance de leçons est indispensable pour faire les exercices sereinement. 1. Multiplicateur associé à une évolution On donne ici les deux résultats principaux à connaître sur les hausses/baisses en pourcentage. Dans ce qui suit, on considère que la lettre $1$x$ désigne un taux de pourcentage positif. Propriété 1 Une hausse de $x$ % sur une grandeur $Y$ est traduite en multipliant $Y$ par $1+\frac x{100}.$ Exemples : - le prix d'un objet augmente de 30% si et seulement si ce prix est multiplié par $1$1+\frac{30}{100}$ , c'est-à-dire par 1,3 ; - un prix est multiplié par 2,5 si et seulement s'il augmente de 150% ; en effet, on a $1$1+\frac x{100} = 2,5 \Leftrightarrow x=150$ . Propriété 2 Une baisse de $x$ % sur une grandeur $Y$ est traduite en multipliant $Y$ par $1-\frac x{100}.$ Exemples : - diminuer un prix de 10% revient à le multiplier par 0,9 ; - multiplier un prix par 0,75 revient à le diminuer de 25%, puisque $1$1-\frac x{100} = 0,75 \Leftrightarrow x=25$ . Un point de méthode Retrouver une valeur initiale après évolution. Supposons qu'un prix ait été augmenté de 15%, pour être fixé à 32,66€. Quel était la valeur initiale de ce prix ? Avec le multiplicateur $1$1+\frac{15}{100}=1,15$ , on pose tout simplement l'équation $1,15 Y = 32,66$ grâce à laquelle on trouve 28,4€. 2. Evolutions successives On donne quelques conséquences des prorpiétés 1 et 2. Propriété 3 Une hausse de $x$ % et une baisse $y$ % sont commutatives : on peut les effectuer dans n'importe quel ordre. En effet, en appliquant d'abord la hausse de $1$x$ %, on multiplie la valeur initiale $1$Y$ par $1$1+\frac x{100}$ ; ensuite, en appliquant la baisse de $1$y$ % à la valeur intermédiaire de $1$Y$ , on multiplie par $1$1-\frac y{100}$ pour obtenir la valeur finale de $1$Y$ . En définitive, on a $Y_f = (1-\frac y{100})\times(1+\frac x{100})\times Y_i$ Ceci montre la propriété 3, puisque l'on a $1$(1-\frac y{100})\times(1+\frac x{100})=(1+\frac x{100})\times(1-\frac y{100})$ . Conséquence : Diminuer de 10% puis augmenter de 20% revient au même qu'augmenter de 20% puis baisser de 10%. D'ailleurs, cela revient à multiplier par 0,9×1,2=1,08 : c'est une hausse de 8%. Ceci illustre le fait que les évolutions en pourcentage n'ont pas de propriété vis-à-vis de l'addition : on se gardera d'ajouter des taux d'évolution ! Propriété 4 Une hausse et une baisse du même taux ne se compensent pas : elles se résument toujours à une baisse. En effet, on a $1$(1+\frac x{100})\times(1-\frac x{100}) = 1 - \frac{x^2}{10000} \ne 1$ . Exemple : Une baisse de 30% suivie d'une hausse de 30% reviennent à une baisse de 9%. En effet, on a $1$(1+0,30)(1-0,30) = 1-0,09$ . modifié par : Zauctore, 21 Sep 2006 - 15:00 Z, auctore.


Zauctore	Envoyé: 20.09.2006, 18:15
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3313 Status: hors ligne dernière visite: 29.11.07	Diable ! j'ai omis de démontrer la propriété 1 ! Voici la preuve. Nommons $Y_i$ la valeur initiale de la grandeur $Y$ . On l'augmente de $x$ % : la valeur de la hausse $h$ est donc $h=\frac{x}{100}\times Y_i$ La valeur finale $Y_f$ de la grandeur $Y$ est donc égale à $Y_f = Y_i+h = Y_i + \frac{x}{100}\times Y_i$ D'où, en factorisant par $Y_i$ , l'expression : $Y_f = Y_i\times(1+\frac x{100}).$ Z, auctore.

wolffe3	Envoyé: 20.09.2006, 18:17
enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 4 Status: hors ligne dernière visite: 18.04.07	merci de votre aide

Zauctore	Envoyé: 26.09.2006, 20:53
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3313 Status: hors ligne dernière visite: 29.11.07	3. Quelques compléments qualitatifs En conséquence de la traduction par multiplicateur des hausses ou baisses exprimées en pourcentages, on peut énoncer les faits suivants (qui surprennent parfois le néophyte) : - une hausse de $1$x$ % n'est jamais compensée par une baisse de $1$x$ % et de même, une baisse de $1$x$ % n'est jamais compensée par une hausse de $1$x$ % (simple reformulation de la propriété 4) ; - pour des hausses et des baisses successives exprimées en pourcentages, on n'ajoute (surtout) pas les taux : il faut multiplier les multiplicateurs (conséquence de la propriété 3) ; - si une même hausse de $1$x$ % est appliquée plusieurs fois, par exemple $1$n$ fois, alors le multiplicateur global est égal à $\big(1+\frac x{100}\big)^n$ et si le taux $1$x$ % est petit, alors, une approximation du multiplicateur est donnée par $1$1+\frac{n\times x}{100}$ , c'est-à-dire que la hausse globale est approximative ment de $1$n\times x$ %. en effet, on a (1+x)ⁿ = 1 + n x + x² P(x), où P est un polynôme en x ; alors, avec x "petit" (ce qui signifie proche de 0), la quantité x² P(x) est négligeable devant les premiers termes 1 et (n x). Z, auctore.

Zauctore	Envoyé: 27.09.2006, 14:34
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3313 Status: hors ligne dernière visite: 29.11.07	Application du dernier point ci-dessus. On place une somme à un faible taux annuel, comme 0,5% ; au bout de combien de temps le capital aura t-il doublé ? On augmente le capital de 0,5% la première année ; ce nouveau capital est à son tour augmenté de 0,5% la seconde année, etc. Voici : le capital après n années, sera 1,005ⁿ fois le capital initial. Il s'agit donc de résoudre l'inéquation 1,005ⁿ ≥ 2. Ceci peut se faire par tatônnement, ou en recourant aux logarithmes. Mais pour un calcul rapide, on utilise l'approximation estimant que le capital est à-peu-près (1+0,005n) fois la somme initiale. Il s'agit ici de résoudre l'inéquation 1+0,005n ≥ 2, c'est-à-dire 0,005n ≥ 1. Il suffit donc que n dépasse 200. Bien entendu, ce résultat est très approximatif, puisque la résolution "exacte" conduit à n ≥ 139, mais l'ordre de grandeur est correct, non ? Z, auctore.

Zauctore	Envoyé: 04.10.2006, 11:04
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3313 Status: hors ligne dernière visite: 29.11.07	4. Taux moyen Lorsqu'une quantité Q₀ subit plusieurs évolutions successives quelconques en exprimées en pourcentage pour atteindre une valeur finale Q_n, on peut chercher quelle serait le taux constant qu'il faudrait appliquer autant de fois à la quantité initiale pour obtenir le même effet. Plus précisément, si l'on a Q₀ → Q₁ par une hausse de a% Q₁ → Q₂ par une baisse de b% ... Q_n-1 → Q_n par une hausse de c% alors on sait que $Q_n = \big(1+\frac a{100}\big)\big(1-\frac b{100}\big)...\big(1+\frac c{100}\big) Q_0$ On cherche le taux constant t%, tel que $Q_n = \big(1\pm \frac t{100}\big)^n Q_0$ C'est précisément ce taux t% qui est appelé taux moyen d'évolution entre Q₀ et Q_n : bien entendu, ce n'est certainement pas la moyenne des taux, piège classique à éviter ! modifié par : Zauctore, 04 Oct 2006 - 11:07 Z, auctore.

Zauctore	Envoyé: 04.10.2006, 13:59
Cosmos enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 3313 Status: hors ligne dernière visite: 29.11.07	Voici un exemple pour fixer les idées : Un capital C₀ = 2500€ initial, est placé pendant quatre ans, la première année à +5%, la seconde année à +8%, la 3e année à +13% et la quatrième et dernière année à +21% (taux imaginaires). Quel est le taux moyen de ce placement ? Au bout des quatre années, le capital est égal à Q₄ = 1,05×1,08×1,13×1,21×2500 = 3876,30€ au centime près. Avec le taux moyen t%, on a aussi : Q₄ = (1+t/100)⁴×2500. Il s'agit donc de déterminer t tel que $\left(1+\frac t{100}\right)^4 = \frac{3876,3}{2500} \simeq 1,55052$ Alors, avec la racine-quatrième, on a $1+\frac t{100} \simeq \sqrt[4]{1,55052} \simeq 1,115885.$ d'où $t \simeq (1,115885 - 1)\times 100$ soit $t \simeq 11,5885\%$ Vérification : on a bien (1+0,115885)⁴×2500 ≈ 3876,30. Conclusion : une hausse constante de 11,55885% par an pendant quatre ans conduit à la même évolution que des hausses successives de 5%, puis 8% puis 13% et enfin 21% par an. Remarque (un autre calcul de ce taux moyen) : la valeur du capital initial est sans importantce, le taux moyen ne dépend que des taux "intermédiaires". On a en fait cette égalité, qui ne porte que sur les multiplicateurs $\left(1+\frac t{100}\right)^4 = 1,05\times 1,08\times 1,13\times 1,21 = 1,5505182$ donc on a $t = \big(\sqrt[4]{1,5505182}-1\big)\times 100 \simeq 11,58843$ ce qui est "sensiblement" le même résultat. Z, auctore.

ptit-coeur-30	Envoyé: 19.09.2007, 20:44
Une étoile enregistré depuis: sep. 2007 Messages: 11 Status: hors ligne dernière visite: 01.10.07	merci beaucoup j' espere que ceci m' aidera je vais essayer de refaire l'exercice. bonne fin de soirée