En ce début d'année, de fréquentes questions reviennent sur les pourcentages associés à des évolutions. Voici une note de cours pour fixer les idées. Je rappelle que la connaissance de leçons est indispensable pour faire les exercices sereinement.
1. Multiplicateur associé à une évolution
On donne ici les deux résultats principaux à connaître sur les hausses/baisses en pourcentage.
Dans ce qui suit, on considère que la lettre désigne un taux de pourcentage positif.
Propriété 1
Une hausse de % sur une grandeur est traduite en multipliant par
Exemples :
- le prix d'un objet augmente de 30% si et seulement si ce prix est multiplié par , c'est-à-dire par 1,3 ;
- un prix est multiplié par 2,5 si et seulement s'il augmente de 150% ; en effet, on a .
Propriété 2
Une baisse de % sur une grandeur est traduite en multipliant par
Exemples :
- diminuer un prix de 10% revient à le multiplier par 0,9 ;
- multiplier un prix par 0,75 revient à le diminuer de 25%, puisque .
Un point de méthode
Retrouver une valeur initiale après évolution.
Supposons qu'un prix ait été augmenté de 15%, pour être fixé à 32,66€. Quel était la valeur initiale de ce prix ?
Avec le multiplicateur , on pose tout simplement l'équation
grâce à laquelle on trouve 28,4€.
2. Evolutions successives
On donne quelques conséquences des prorpiétés 1 et 2.
Propriété 3
Une hausse de % et une baisse % sont commutatives : on peut les effectuer dans n'importe quel ordre.
En effet, en appliquant d'abord la hausse de %, on multiplie la valeur initiale par ; ensuite, en appliquant la baisse de % à la valeur intermédiaire de , on multiplie par pour obtenir la valeur finale de .
En définitive, on a
Ceci montre la propriété 3, puisque l'on a .
Conséquence :
Diminuer de 10% puis augmenter de 20% revient au même qu'augmenter de 20% puis baisser de 10%. D'ailleurs, cela revient à multiplier par 0,9×1,2=1,08 : c'est une hausse de 8%.
Ceci illustre le fait que les évolutions en pourcentage n'ont pas de propriété vis-à-vis de l'addition : on se gardera d'ajouter des taux d'évolution !
Propriété 4
Une hausse et une baisse du même taux ne se compensent pas : elles se résument toujours à une baisse.
En effet, on a .
Exemple :
Une baisse de 30% suivie d'une hausse de 30% reviennent à une baisse de 9%. En effet, on a .
En conséquence de la traduction par multiplicateur des hausses ou baisses exprimées en pourcentages, on peut énoncer les faits suivants (qui surprennent parfois le néophyte) :
- une hausse de % n'est jamais compensée par une baisse de % et de même, une baisse de % n'est jamais compensée par une hausse de % (simple reformulation de la propriété 4) ;
- pour des hausses et des baisses successives exprimées en pourcentages, on n'ajoute (surtout) pas les taux : il faut multiplier les multiplicateurs (conséquence de la propriété 3) ;
- si une même hausse de % est appliquée plusieurs fois, par exemple fois, alors le multiplicateur global est égal à
et si le taux % est petit, alors, une approximation du multiplicateur est donnée par , c'est-à-dire que la hausse globale est approximative ment de %.
en effet, on a (1+x)n = 1 + n x + x2 P(x), où P est un polynôme en x ; alors, avec x "petit" (ce qui signifie proche de 0), la quantité x2 P(x) est négligeable devant les premiers termes 1 et (n x).
On place une somme à un faible taux annuel, comme 0,5% ; au bout de combien de temps le capital aura t-il doublé ?
On augmente le capital de 0,5% la première année ; ce nouveau capital est à son tour augmenté de 0,5% la seconde année, etc.
Voici : le capital après n années, sera 1,005n fois le capital initial. Il s'agit donc de résoudre l'inéquation 1,005n ≥ 2. Ceci peut se faire par tatônnement, ou en recourant aux logarithmes.
Mais pour un calcul rapide, on utilise l'approximation estimant que le capital est à-peu-près (1+0,005n) fois la somme initiale. Il s'agit ici de résoudre l'inéquation 1+0,005n ≥ 2, c'est-à-dire 0,005n ≥ 1. Il suffit donc que n dépasse 200.
Bien entendu, ce résultat est très approximatif, puisque la résolution "exacte" conduit à n ≥ 139, mais l'ordre de grandeur est correct, non ?
Lorsqu'une quantité Q0 subit plusieurs évolutions successives quelconques en exprimées en pourcentage pour atteindre une valeur finale Qn, on peut chercher quelle serait le taux constant qu'il faudrait appliquer autant de fois à la quantité initiale pour obtenir le même effet.
Plus précisément, si l'on a
Q0 → Q1 par une hausse de a%
Q1 → Q2 par une baisse de b%
...
Qn-1 → Qn par une hausse de c%
alors on sait que
On cherche le taux constant t%, tel que
C'est précisément ce taux t% qui est appelé taux moyen d'évolution entre Q0 et Qn : bien entendu, ce n'est certainement pas la moyenne des taux, piège classique à éviter !
Un capital C0 = 2500€ initial, est placé pendant quatre ans, la première année à +5%, la seconde année à +8%, la 3e année à +13% et la quatrième et dernière année à +21% (taux imaginaires).
Quel est le taux moyen de ce placement ?
Au bout des quatre années, le capital est égal à
Q4 = 1,05×1,08×1,13×1,21×2500 = 3876,30€ au centime près.
Avec le taux moyen t%, on a aussi : Q4 = (1+t/100)4×2500.
Il s'agit donc de déterminer t tel que
Alors, avec la racine-quatrième, on a
d'où soit
Vérification : on a bien (1+0,115885)4×2500 ≈ 3876,30.
Conclusion : une hausse constante de 11,55885% par an pendant quatre ans conduit à la même évolution que des hausses successives de 5%, puis 8% puis 13% et enfin 21% par an.
Remarque (un autre calcul de ce taux moyen) : la valeur du capital initial est sans importantce, le taux moyen ne dépend que des taux "intermédiaires".
On a en fait cette égalité, qui ne porte que sur les multiplicateurs
Lors d'un DM on me pose cette question :
Un prix baisse de 10%. De quel pourcentage doit on réaugmenter ce prix pour revenir a son tarif initial.
Pouvez vous m'indiquer dans votre tutoriel de quels propriété s'agit-il? merci
