Pb pour mardi 19/09 : suite et récurrence

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	Pb pour mardi 19/09 : suite et récurrence
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mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 10:34
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	slt tout le monde j'ai un dm de math a rendre mais le probleme c'est qu'aucune personne de ma classe n'arrive à décoller si vous pouviez nous aider rapidement étant donné que c'est pour le mardi 19 septembre sa serai vraiment cool voici l'exo: u suite définie par Uo=2, U1= 3 et pr tout n apartenat aux entier naturel, Un+2= 3Un+1-2Un 1. Calculer U2, U3, U4, U5, U6 et U7 2. Emettre une conjecture quant à l''expression de Un en fonction de l'entier n 3. Démontrer la conjecture par récuurrence voila le probleme c'est que l'on a aucun cours sur le raisonnement par récurrence et on ne peut pas demander d'aide au prof étant donné qu'on le revoie que mardi, jour ou on odit rendre le dm on a esayé de calculer les premiers termes mais personne ne retoùbe sur ses pieds, en plus le Un+2 nous perturbe alrs s'il vous plait, on a vraiment besoin d'aide mdr merci beaucoup en tout cas de répondre rapidement Titre modifié, N.d.Z. modifié par : Zauctore, 17 Sep 2006 - 12:17


Zauctore	Envoyé: 17.09.2006, 11:07
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4521 Status: hors ligne dernière visite: 23.11.08	Salut $1$U_0=2,\; U_1= 3,\; U_{n+2}= 3U_{n+1}-2U_n$ Calcul de U₂ : on applique la formule définissant U_n+2 en remplaçant n par 0 $1$U_2 = 3U_1-2U_0 = 3\times3-2\times2 = 5$ C'est le même principe pour les autres termes en utilisant U₂ et U₁ pour calculer U₃, etc. Lorsque tu auras les valeurs suivantes, marque-les ici pour qu'on puisse regarder la suite.

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 11:11
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	en fait, pour la suite, je fais par exemple pour U3, je fais, 3U2-2U1=3 X 5 - 2 X 3?? c'est cela,?? et je fais ca ainsi de suite je reviens quand j'aurais fini mes calculs merci en tout cas

Zauctore	Envoyé: 17.09.2006, 11:12
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4521 Status: hors ligne dernière visite: 23.11.08	Oui c'est ça.

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 11:16
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	donc j'obtiens U2=5 U3= 9 U4= 17 U5= 33 U6= 65 U7= 129 est ce que c'est ca?? sa me parait bizarre que les chiffres obtenue changent autant et pour la suite comment je peux faire?? sans cours je suis vraiment perdu!! merci

Zauctore	Envoyé: 17.09.2006, 11:23
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4521 Status: hors ligne dernière visite: 23.11.08	C'est bien cela. Maintenant on en est à la partie "conjecture", qui consiste à faire une "remarque qui semble vraie", n'est-ce pas. Observe bien les nombres obtenus et les liens entre eux ; il y a un rapport entre les nombres de deux lignes successives qui "saute aux yeux". Tâche de le découvrir et de le formuler. La récurrence viendra après ça.

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 11:25
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	je pensais à 2 exposant n - 1 amis j'ai pas l'impression que sa marche bien et que se soit vrai

Zauctore	Envoyé: 17.09.2006, 11:29
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4521 Status: hors ligne dernière visite: 23.11.08	Non : ça ne marche déjà plus pour U₄ : 2⁴-1 = 15 ≠ 17. Cherche plutôt un lien entre U₂ et U₃, qui serait le même qu'entre U₃ et U₄...

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 11:35
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	j'ai remarqué que l'on multipliai par un meme nombre par exemple entre U2 et U3, on multiplie donc par 3 de meme pour U3 et U4, on multiplie dans les deux cas pr 5 ca à un rapport ou pa?? tu c'est, tu n'es pas sorti de l'auberge avec moi je suis parfois longue à la détente mais sa va venir j''spè-re

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 11:41
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	oui, sa doit etre sa sa fait pareil pour tous les autres U

Zauctore	Envoyé: 17.09.2006, 11:42
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4521 Status: hors ligne dernière visite: 23.11.08	Cela n'a pas l'air de fonctionner. Reprenons la liste : $U_0=2\\U_1=3\\U_2=5\\U_3= 9\\U_4= 17\\U_5= 33\\U_6= 65\\U_7= 129$ Le lien est simple, entre 9 et 17 par exemple on le "sent" bien.

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 11:45
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	jveux pas paraitre chiante, mais jvois pas a part ke l'on ajoute 8 lol bon je vais manger on réfléchira tout à l'heure, vers 13h30 merci

Zauctore	Envoyé: 17.09.2006, 12:06
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4521 Status: hors ligne dernière visite: 23.11.08	C'est exact ; on aurait aussi pu dire que 17 = 2×9 - 1, càd U₄ = 2×U₃ - 1. Revenons à 8. c'est une puissance, non ? quel est son exposant ? Continue à étudier les différences entre les termes consécutifs. modifié par : Zauctore, 17 Sep 2006 - 12:15

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 13:01
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	son exposant c 3 2³ voila mais ca mene ou tout ca??

kanial	Envoyé: 17.09.2006, 13:10
Modérateur enregistré depuis: avr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	salut mandinette, ça mène à dire que U₄=U₃+2³ est-ce qu'il n'y aurait pas une relation similaire entre U₃et U₂ ou entre U₅ et U₄? L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 13:13
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	et bien si, il y a un lien, à savoir ils sont tous exposant 3 non?? c'est cela??

kanial	Envoyé: 17.09.2006, 13:31
Modérateur enregistré depuis: avr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	qu'est-ce qui est exposant 3? Non je ne pense pas que ce soit ça? Je te laisse chercher un peu. L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 13:33
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	U0=U1+2ⁿ c'est pas quelque chose de ce genre??

kanial	Envoyé: 17.09.2006, 13:51
Modérateur enregistré depuis: avr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	ya une piste mais ce que tu as écrit ne veut pas dire grand chose, U0 ne s'exprime pas en fonction de n, si tu veux écrire quelque chose en fonction de n c'est Un L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 13:54
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	ah oui excsue moi c Un=U0+2ⁿ ca va mieu la,??

kanial	Envoyé: 17.09.2006, 13:57
Modérateur enregistré depuis: avr. 2006 Messages: 1350 Status: hors ligne dernière visite: 15.11.08	l'écriture est correcte mais la relation est fausse, n'essaie pas de généraliser directement essaie déjà d'exprimer U4 en fonction de U3, U3 en fonction de U2, U2 en fonction de U1... L'unique différence entre un fou et moi, c'est que moi je ne suis pas fou. [Dali]

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 14:01
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	ok mais jvois vraiment pas U4 en fonction de U3 ca donne: U4=U3+2³-1 nn?? cava bien comme ca jpense!! U3 en fonction de U2: U3=U2+2³-1 ca va la?? ben non ca va pas je c'est plus la je suis perdu jcrois

Zorro	Envoyé: 17.09.2006, 14:05
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 5881 Status: hors ligne dernière visite: 20.11.08	Cernons le problème on passe de U₀ à U₁ en multipliant par ? ou en additionnant ? on passe de U₁ à U₂ en multipliant par ? ou en additionnant ? on passe de U₂ à U₃ en multipliant par ? ou en additionnant ? etc ....

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 14:08
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	ben on additionne 1 pr passer de U0 à U1 de U1 à U2: on ajoute 2 de U2 à U3: on ajoute 4 de U3 à U4: on ajoute 8 a oui je vois on multiplie apr 2 a chaque fois 12 puis 22 opuis 4*2 c'est cela?? je comprends ieux la!!

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 14:16
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	est ce que la conjecture ne serait pas U0=2n-1 apr hasard??

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 14:24
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	ah nn ca marche pas en fait en tt cas pas pour U0 je crois pas dis moi cke tu en pesne?

Zorro	Envoyé: 17.09.2006, 14:28
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 5881 Status: hors ligne dernière visite: 20.11.08	ne réponds pas trop vite et réécrit U₁ = quelque chose en fonction de U₀ U₂ = quelque chose en fonction de U₁ etc ....

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 14:35
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	U1= U0+1 U2=U1+2 U3=U2+4 etc..... apres, c'est ca!!??

Zorro	Envoyé: 17.09.2006, 14:38
Modératrice enregistré depuis: oct. 2005 Messages: 5881 Status: hors ligne dernière visite: 20.11.08	tu peux vérifier toute seule non ?

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 14:40
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	ben c'est ce que j'ai fait et c'est cela oui j'ai vérifié et tout marche bien c'est bon??

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 14:52
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	on peut donc passer a la conjecture elle meme puis au petit 3 de l'exercice?? la conjecture c'est pas quelque chose comme Un=U0+n² Non?

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 15:15
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	qu'est ce qui se passe, pourquoi personne repond?

Zauctore	Envoyé: 17.09.2006, 17:50
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4521 Status: hors ligne dernière visite: 23.11.08	Minute : on a tous une vie en dehors du forum. On a u₄ = u₃ + 8 = u₃ + 2³ Mais aussi u₃ = u₂ + 4 = u₂ + 2² Donc u₄ = u₂ + 2² + 2³ On arrive au bout du compte (à toi de t'en assurer) à u₄ = u₀ + 1 + 2 + 4 + 8 = u₀ + 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ Est-ce que ceci peut s'écrire plus simplement ? La somme 1+2+4+8 vaut 15 = 16-1, càd 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ = 2⁴ - 1. Une relation est u₄ = u₀ + 2⁴ - 1. Est-ce que ça fonctionne sur les autres termes ? modifié par : Zauctore, 17 Sep 2006 - 17:52

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 18:23
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	oui sa fonctionne sur les autres termes et je pense que sa peut s'écrire aussi Un=U0+2ⁿ non??

Zauctore	Envoyé: 17.09.2006, 18:30
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4521 Status: hors ligne dernière visite: 23.11.08	Il me semble qu'il faut retrancher 1, non ?

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 18:31
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	oups oui bein sur cza donne donc pour le 2 de l'exo, la conjecture suivante Un=U0+2^n-1 c'est cela?? on y est cette fois?

Zauctore	Envoyé: 17.09.2006, 18:37
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4521 Status: hors ligne dernière visite: 23.11.08	Non : ce n'est pas à l'exposant que l'on retranche 1 !

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 18:38
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	ah non je c bien ke ... ah oui désolé j'ai mal noté ca je reprend lol donc c'est Un=U0+2ⁿ-1 ca va mieux la? lol

Zauctore	Envoyé: 17.09.2006, 18:46
Modérateur enregistré depuis: aoû. 2005 Messages: 4521 Status: hors ligne dernière visite: 23.11.08	Une conjecture est donc la relation suivante $U_n= 2^n + 1,$ qui semble vraie pour tout entier n. J'ai utilisé le fait que U₀ = 2. C'est le principe de récurrence qui va maintenant permettre (si tout va bien), de prouver ce fait. Remarque : on aurait pu aller beaucoup plus vite pour trouver cette conjecture, si tu avais vu que les puissances de 2 sont 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256... ça peut aider de connaître les suites de nombres particuliers de cette sorte. modifié par : Zauctore, 17 Sep 2006 - 18:48

mandinette	Envoyé: 17.09.2006, 18:48
Cosmos enregistré depuis: sep. 2006 Messages: 398 Status: hors ligne dernière visite: 26.02.07	pourquoi tu ajoute 1 cette fois au lieu de retranché comme tout à l'heure? sinon on afit comment pour la suite?? pour le principe de récurrence ke je n'ai jamais vu en cours??