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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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optimisation

  - catégorie non trouvée dans : 1ère
Envoyé: 28.05.2006, 14:04

Webmaster
Thierry

enregistré depuis: juil.. 2004
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Bonjour tout le monde,
Je suis à la recherche d'une méthode applicable en 1ère S permettant de prouver que le triangle équilatéral est le triangle de plus grande aire dans un cercle de rayon R.
Vous avez ça dans vos méninges ?



Thierry
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Envoyé: 28.05.2006, 20:59

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Zauctore

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vite-fait, je pense à un truc utilisant S = abc / (4R),
en supposant a <= b <= c, on doit arriver à abc <= c3.



modifié par : Zauctore, 28 Mai 2006 @ 21:07
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Envoyé: 28.05.2006, 21:17

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Thierry

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Une piste intéressante ... J'étais parti sur une optimisation "classique" avec étude de fonction .... Je vais réfléchir à celle-ci.
Je vous dirai quoi.
Merci, bonne soirée.


Thierry
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Envoyé: 29.05.2006, 05:11

Constellation


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Thierry
Une piste intéressante ... J'étais parti sur une optimisation "classique" avec étude de fonction .... Je vais réfléchir à celle-ci.
Je vous dirai quoi.
Merci, bonne soirée.


Salut Thierry,

à tout hasard, le triangle équilatéral inscrit est un demi-hexagone régulier, lequel est formé par trois losanges ou alors, plus simplement, la maximisation de l'aire S=ah du triangle OAB (1/6 de l'hexagone régulier) avec OA = r; h = (r+a)(r-a); et a = kr; avec k variant de 0 à 1; on a bien le maximum de S pour k= 0.5, soit a = r/2 (attention à bien considérer la paire des triangles OAH et BAH (H, pied de la hauteur) en bougeant A vers B, sinon l’aire du seul triangle OAH avec h = r/ racine2 (demi-carré) pourraît nous paraître plus grande mais ne satisferait pas le début de l’énoncé.
Bonne journée.

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Envoyé: 29.05.2006, 11:04

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Thierry

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Merci l'ami Suisse !
J'ai suivi ta piste de l'optimisation du triangle isocèle et j'arrive ... à un triangle rectangle. Ce qui ne démontre pas le résultat cherché, ou alors j'ai mal compris ce que tu me proposes.



Thierry
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Envoyé: 29.05.2006, 12:14

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Thierry

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La solution de Zauctore marche bien.

Soit un triangle de dimensions a, b, c inscrit dans un cercle de rayon R avec a <= b <= c. Connaissant le résultat : S=abc/(4R) (qui n'est pas explicitement au programme de 1eS), on démontre que S <= c^3/(4R). L'égalité ne pouvant être atteinte que si a=b=c.
J'avais pensé démontrer la dernière affirmation à l'aide d'un raisonnement par l'absurde mais cela complique inutilement les choses.

Pour la démonstration de S=abc/(4R), elle est dans ton cours sur la [URL=http://www.mathforu.com/Article63.html]loi des sinus[/URL].
Ai-je oublié quleque chose Zauctore ?


Thierry
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Envoyé: 29.05.2006, 23:23

Modérateur
Zauctore

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- un cercle donné contient toujours un triangle équilatéral inscrit ; avec a=b=c dans ce cas ça règle le pb.

- en fait, géométriquement, il est clair que les triangles isocèles donnent des max relatifs pour l'aire

http://pix.nofrag.com/b0/1b/1d60c648b66730813c172d83880c.jpg

la verte est moindre que la pourpre.

l'aire sera maximale lorsque le triangle sera isocèle en tous ses côtés.
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Envoyé: 30.05.2006, 01:02

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Thierry

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Zauctore
- un cercle donné contient toujours un triangle équilatéral inscrit
C'était bien ça, la chose qui me manquait. Merci !


Thierry
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