Bonjour
J'ai un exercice sur lequel je bloque!
Pour tout entier naturel non nul on pose N = n4 + n^2 + 1
1) Compléter le tableau de valeurs (je ne le met pas ici, je pense que la réponse est facile).
Je pense avoir répondu à la deuximème question
2)
a)Développer et simplifier
: (n^2 + 1 )^2 - n^2
3) En utilisant le résultat obtenu en 2b, montrer:
a) Si n est un nombre entier naturel, alors n^2 - n + 1 est aussi un nombre entier naturel. Pour quelles valeurs de n ce nombre est il égal à 1?
Je suppose que c'est une équation
b) Conclure alors que si n est différent de 1, alors N n'est jamais un nombre premier
c) Décomposer en produits les nombre N obtenus dans le tableau de la question 1
En lisant et relisant mes cours, je ne vois pas comment faire!!
Merci de vos conseils
A+
3a) si n est entier, alors n² l'est aussi, ainsi que n² - n, et enfin il en va de même pour n² - n + 1. Le problème est de montrer que c'est un entier naturel. Or, puisque n est entier naturel (non nul), on a n² >= n car n >= 1. Ainsi n² - n est un entier naturel éventuellement nul (c'est le cas si n = 1). Donc n² - n + 1 est aussi supérieur à 1 : c'est donc un entier naturel.
La quantité n² - n + 1 est égale à 1 lorsque n² - n = 0, c'est-à-dire n(n - 1) = 0 : deux possibilités n = 0 ou n = 1. Le cas n = 0 a été exclu par l'énoncé au tout début.
Ainsi, si n > 1, il est clair que n4 + n² + 1 est décomposé en un produit de deux entiers différents de 1 : ce sont n² + n + 1 et n² - n + 1. Ce n'est donc pas un nombre premier.
Pour la dernière question, tu ne nous a pas donné le tableau.
