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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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Dérivation: Problème ouvert :-(

  - catégorie non trouvée dans : 1ère
Envoyé: 20.02.2006, 15:52

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agathe59

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Bonjour à tous!
J'ai un gros problème je dois résoudre 2 rpoblèmes ouverts, or je n'ai jamais fait ça...

Le 1er:
Existe-t-il des fonctions polynômes f et g telles que (fg)' = f' foi/ g' ?

Le 2eme:
f est une fonction paire dérivable sur un intervalle I. Que pensez vous de la parité de la fonction dérivée f' ?

Je me doute bien que je dois expliquer avec précision ma démarche, même si elle n'a pas abouti et je pense que je peux émettre une conjecture qu'il me faut justifier ensuite.

J'aimerai bcp que vous m'aidiez, car en plus je ne démarre pas, pour aucun des problèmes...
Merci d'avance...
Bonnes fin de vacances aux chanceux...
Agathe
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Envoyé: 20.02.2006, 16:20

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agathe59

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J'ai trouvé (engros) pr le moment ça:

2eme : elle est impaire

car si on dérive la relation f(-x) = f(x)
on obtient -f'(-x) = f'(x) (dérivée d'une composée)

la dérivée d'une fonction paire est impaire et vice-versa

1er : avec un petit raisonnement sur les degré des polynômes

notons n le degré de f et m le degré de g
(n=0 pour un polynôme constant, n=1 pour ax etc.) si ces polynômes ne sont pas nuls

ensuite on verifie facilement que le degré d'un produit de polynôme est la somme de degré.

le degré de f' est n-1
le degré de g' est m-1
donc le degré de f'*g' est ...

et d'autre part le degré de (fg)' est (m+n) -1

mais je me suis embrouillée...
Aidez moi svp... icon_confused
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Envoyé: 20.02.2006, 17:56

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Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Et le degré de f '.g' est (n - 1)+(m - 1) ?



modifié par : Zauctore, 20 Fév 2006 @ 18:27
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Envoyé: 20.02.2006, 18:24

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mala

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dernière visite: 11.03.06
Supposons qu'il existe P et Q deux polynôme de degré m et n tels que : (PQ)'=P'Q'
on a :
d°PQ=m+n
d°P'=m-1
d°Q'=n-1
donc d°(P'xQ')=(m-1)+(n-1)
et d°((PQ)')=m+n-1

d'où (m-1)+(n-1)=m+n-1
c'est à dire -2=-1 icon_eek
Conclusion ?


Une personne qui n'a jamais commis d'erreurs n'a jamais innové.
A. Einstein
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Envoyé: 20.02.2006, 18:29

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Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
+ oublié, merci.
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Envoyé: 20.02.2006, 19:04

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agathe59

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dernière visite: 01.10.06
Je ne comprends plus rien du tout...
Aidez moi...
Top 
Envoyé: 20.02.2006, 19:08

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
C'est un raisonnement par l'absurde.

Suppose que deux tels polynômes f et g existent... alors avec les notations précédentes tu serais logiquement mené à m+n-1 = m+n-2, qui est manifestement impossible.

La supposition initiale est donc intenable.
Top 
Envoyé: 21.02.2006, 15:40

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agathe59

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dernière visite: 01.10.06
On en conclue donc que pour le 1er ça n'existe pas et que pr le 2ème elle est impaire ?
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Envoyé: 21.02.2006, 18:49

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Max81

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dernière visite: 03.07.06
Pour le premier, on ne peut pas dire que si f ou g est la fonction nulle alors ca marche ?
ex :
f(x) = 0
(fg)(x) = 0
impl/ (fg)'(x) = 0

Or f'(x) * g'(x) = 0

EDIT : A moins que justement la fonction nulle ne soit pas une fonction polynôme ;)



modifié par : Max81, 21 Fév 2006 @ 18:51
Top 
Envoyé: 21.02.2006, 18:57

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Oui : on n'a pas envisagé les cas triviaux ci-dessus : on n'a considéré que le cas des polynômes de degré >= 1. La fonction nulle x -> 0 est un cas particulier de fonction polynôme.
Top 
Envoyé: 23.02.2006, 12:45

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agathe59

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dernière visite: 01.10.06
Merci beaucoup de m'avoir aidé icon_wink
Top 
Envoyé: 23.02.2006, 13:00

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agathe59

enregistré depuis: déc.. 2005
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dernière visite: 01.10.06
Comment fait on pour trouver le degré de (fg)' ???
Aidez moi
Merci

Agat
Top 
Envoyé: 23.02.2006, 15:36

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

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dernière visite: 07.03.13
Si fg est un polynôme de degré m+n, alors le polynôme dérivé (fg)' aura pour degré n+m-1 comme tu l'as écrit à 16:20, le 20/02. Sauf si f ou g est le polynôme nul, auquel cas le polynôme dérivé est de degré 0, comme fg.
Top 
Envoyé: 23.02.2006, 17:41

Voie lactée
GaussFutur

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dernière visite: 15.06.10
Je m'introduit en disant peut etre une betise, mais le degre d'un polynome qui est nul c'est -inf/ ?


Les Abus forment les Thèses de Demain...
Top 
Envoyé: 23.02.2006, 19:40

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Il y a une convention disant que le polynôme nul n'a pas de degré, ou que c'est - inf/, c'est vrai. On n'a sans doute pas besoin de cette subtilité ici (1ère) : le polynôme x -> Cste est de degré 0.
Top 
Envoyé: 24.02.2006, 11:44

Voie lactée
GaussFutur

enregistré depuis: oct.. 2005
Messages: 141

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dernière visite: 15.06.10
Je dit ça car dans ce cas il existe en effet un polynome qui suit cette relation car :
-inf/ +m-1 = -inf/ +m-2
Et ça ne se ramene pas à une equation absurde avec -1=-2
Donc les polynomes constants sont en accord avec la relation
(fg)' = f'g'


Les Abus forment les Thèses de Demain...
Top 
Envoyé: 25.02.2006, 10:36

Modérateur
Zauctore

enregistré depuis: août. 2005
Messages: 8175

Status: hors ligne
dernière visite: 07.03.13
GF
Donc les polynomes constants sont en accord avec la relation
(fg)' = f'g'.

Non :
Si P = 1, alors P' = 0. Si Q = x, alors (PQ)' = 1 tandis que P'Q' = 0.

Rq : le genre d'arithmétique "des infinis" que tu mentionnes est inapproprié ici.
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