Bonjour à tous!
J'ai un gros problème je dois résoudre 2 rpoblèmes ouverts, or je n'ai jamais fait ça...
Le 1er:
Existe-t-il des fonctions polynômes f et g telles que (fg)' = f' foi/ g' ?
Le 2eme:
f est une fonction paire dérivable sur un intervalle I. Que pensez vous de la parité de la fonction dérivée f' ?
Je me doute bien que je dois expliquer avec précision ma démarche, même si elle n'a pas abouti et je pense que je peux émettre une conjecture qu'il me faut justifier ensuite.
J'aimerai bcp que vous m'aidiez, car en plus je ne démarre pas, pour aucun des problèmes...
Merci d'avance...
Bonnes fin de vacances aux chanceux...
Agathe
Supposons qu'il existe P et Q deux polynôme de degré m et n tels que : (PQ)'=P'Q'
on a :
d°PQ=m+n
d°P'=m-1
d°Q'=n-1
donc d°(P'xQ')=(m-1)+(n-1)
et d°((PQ)')=m+n-1
d'où (m-1)+(n-1)=m+n-1
c'est à dire -2=-1
Conclusion ?
Une personne qui n'a jamais commis d'erreurs n'a jamais innové.
A. Einstein
Suppose que deux tels polynômes f et g existent... alors avec les notations précédentes tu serais logiquement mené à m+n-1 = m+n-2, qui est manifestement impossible.
Oui : on n'a pas envisagé les cas triviaux ci-dessus : on n'a considéré que le cas des polynômes de degré >= 1. La fonction nulle x -> 0 est un cas particulier de fonction polynôme.
Si fg est un polynôme de degré m+n, alors le polynôme dérivé (fg)' aura pour degré n+m-1 comme tu l'as écrit à 16:20, le 20/02. Sauf si f ou g est le polynôme nul, auquel cas le polynôme dérivé est de degré 0, comme fg.
Il y a une convention disant que le polynôme nul n'a pas de degré, ou que c'est - inf/, c'est vrai. On n'a sans doute pas besoin de cette subtilité ici (1ère) : le polynôme x -> Cste est de degré 0.
Je dit ça car dans ce cas il existe en effet un polynome qui suit cette relation car :
-inf/ +m-1 = -inf/ +m-2
Et ça ne se ramene pas à une equation absurde avec -1=-2
Donc les polynomes constants sont en accord avec la relation
(fg)' = f'g'
