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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Lois de probabilités

- classé dans : Lois de probabilités

Envoyé: 12.10.2014, 13:58

Cosmos
Veitchii

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Bonjour, j'ai un exo à rendre pour demain de probabilité mélanger avec suites. Voici l'énoncé :

Dans une population 10% des personnes sont atteintes d'une maladie détectable par une analyse de sang. En dehors de l'examen individuel (une analyse par personne), il existe une autre méthode de détection appelée méthode de l'examen collectif. Elle consiste à analyser le sang mélangé de n personne (n1). Si le résultat est négatif, c'est clair : aucune de ces personnes n'est malade. Sinon, on procède alors à l'analyse de chacune des n personnes. Dans ce derniers cas, on aura recours au total à n+1 analyses.
La question est de savoir s'il existe un entier n (et dans ce cas de le déterminer) pour lequel le nombre moyen d'analyses à effectuer sera minimal.

1. Soit Xn la variable aléatoire << nombre d'analyses nécessaires pour un groupes de n personnes. >>

Donner la loi de probabilité Xn et calculer son espérance E(Xn).
En déduire que le nombre moyen d'anlyses que l'on doit éffetecuer par personne est 1-((0.9)^n - 1/n)

Je sais comment calculer l'espérance ainsi que donner la loi de probabilité mais je n'ai pas grand chose pour répondre à cela...

Mise à part 10% ont la maladie donc 90% ne l'ont pas?

Je suis pas sur

modifié par : mtschoon, 12 Oct 2014 - 16:00
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Envoyé: 12.10.2014, 15:51

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Bonjour,

Je ne comprends pas ce "(n1)" que tu as écrit...

Piste pour démarrer :

Dans la population, la probabilité d'être atteint d'une maladie M est 0.1
La probabilité de ne pas être atteint de cette maladie M est 1-0.1=0.9

Si le test d'examen collectif est négatif, un seul test suffit .
Xn=1
Les n personnes ne sont pas atteintes par la maladie.
p(X_n=1)=0.9^n

Sinon, il faut faire, en plus du test collectif, n tests individuels , donc au total, il faut faire (1+n) tests
X_n=1+n
Nécessairement, au moins une des n personnes est atteinte par la maladie
p(X_n=1+n)=1-0.9^n

Xn prend donc 2 valeurs dont tu as les probabilités.

Avec cela, calcule l'espérance et tu trouveras la valeur proposée.


modifié par : mtschoon, 12 Oct 2014 - 19:13
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Envoyé: 12.10.2014, 16:35

Cosmos
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n≥1

Donc les deux valeurs sont 1 avec une proba de 0.9^n
Et 1+n avec une proba de 1-0.9^n

E(Xn) = 1 x 0.9^n + (1+n) x 1-0.9^n

= 0.9^n + n x 0.1^n

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Envoyé: 12.10.2014, 16:43

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N'oublie pas les parenthèses

E(X_n) = 1 \times  0.9^n + (1+n) \times  (1-0.9^n )

Ta dernière expression est à revoir...

Recompte et transforme jusqu'à ce que tu trouves l'expression donnée dans l'énoncé.
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Envoyé: 12.10.2014, 16:51

Cosmos
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n x -0.9^n ça donne quoi?
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Envoyé: 12.10.2014, 18:03

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ça donne ce que tu as écrit...il n'y a pas de simplification possible.

Tu peux écrire -n\times 0.9^n
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Envoyé: 12.10.2014, 19:43

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donc

En(X) = 0.9^n +1 - 0.9^n +n -n0.9^n

C'est bon?
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Envoyé: 12.10.2014, 22:17

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Oui, mais il y a une simplification car 0.9n-0.9n=0
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Envoyé: 13.10.2014, 09:15



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bonjour
j'ai le même exercice a faire et je n'arrive pas a passer du resultat de cette question à 1-((0.9)^n - 1/n) icon_frown
merci d'avance de me venir en aide
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Envoyé: 13.10.2014, 09:41

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E(Xn) est la moyenne du nombre d'analyses de n personnes.

Pour obtenir le nombre moyen d'anlyses que l'on doit effectuer par personne , il suffit de diviser E(Xn) par n :

\frac{E(X_n)}{n}=\frac{1+n-n.0.9^n}{n}

On transforme pour obtenir exactement l'expression souhaitée.
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Envoyé: 13.10.2014, 09:50



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merci beaucoup mtschoon
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Envoyé: 13.10.2014, 10:00

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Et? Ça nous aide pas plus la simplification par n...
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Envoyé: 13.10.2014, 10:22

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Si tu connais les fractions, c'est suffisant...

Principe :

\frac{a+b-c}{n}=\frac{a}{n}+\frac{b}{n}-\frac{c}{n}

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Envoyé: 13.10.2014, 11:35

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1/n ne se simplifie pas

n/n ça vaut n

Et -n0.9^n/n ça vaut 0.9^n

Non?
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Envoyé: 13.10.2014, 13:09

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Veitchii, tu devrais impérativement revoir les bases de calcul de collège, car en TS, tu auras de gros problèmes...

Pour n ≠ 0 :

\frac{n}{n}=1

-\frac{n0.9^n}{n}=-0.9^n
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Envoyé: 13.10.2014, 20:01

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Oui d'ailleurs, vous auriez pas quelque chose qui résumerait les calcules de bases qui faudrait bien connaitre car je les ai un peu perdu... S'il vous plaît. Merci.
Top 
Envoyé: 14.10.2014, 10:44

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J'ai remarqué sur ce topic tes difficultés de calculs relatives aux fractions et aux puissances.

Je crois que le mieux serait de te procurer des manuels de maths de 4ème et 3ème et revoir tout ce qui correspond aux activités numériques.

Cela te donnera du travail, mais ça en vaut la peine.

Bon travail.
Top 
Envoyé: 14.10.2014, 13:22

Cosmos
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D'accord, je vous remercie.

Ensuite, la deuxième partie c'est la Rentabilité.

On préfèrera donc la méthode d'examen collectif à l'examen individuel dès lors que

Un = 0.9^{n} - \frac{1}{n} sera positif.

Pour n ≥ 1, on pose an=n(0.9)n

Etablir que :

pour 1 ≤ n ≤ 9, an+1>an

pour n ≥ 10, an+1 < an

a33>1 et a34<1

En déduire les valeurs de n pour lesquels U[sub]n[/sub]>0.

Sur cette partie, j'ai pas trop compris ce que l'on me demandé. Que signifie en faîte, établir

J'avais pensé à faire de la récurrence mais je sais pas trop... J'attends des pistes. Merci ! icon_rolleyes
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Envoyé: 14.10.2014, 14:04

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Etablir veut dire "démontrer"

Je te suggère de calculer an+1-an, de mettre 0.9n en facteur, et d'étudier le signe de an+1-an
Top 
Envoyé: 14.10.2014, 17:51

Cosmos
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Fin moi j'avais tous simplement fait,

Pour n = 1, a1=0.9
Pour n = 9, a2=1.62
Donc a1<a[sub]2[/sub]
Pour 1 ≤ n ≤ 9, a[sub]n+1[/sub]>an

Pour la seconde, je ne sais pas... J'avais pensé à faire une récurrence, mais je ne suis pas sûr...

Et pour la troisième, j'ai mis

Pour n = 33, a33≈1.02
a33> 1

Pour n = 34, a34≈0.94
a34<1

Donc U[sub]n[/sub] > 0, pour n ∈ ]1;34[

modifié par : Veitchii, 14 Oct 2014 - 17:51
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Envoyé: 14.10.2014, 19:07

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OK pour a33 et a34

Pour le reste, tu n'a rien démontré.

Utilise la piste que je t'ai donnée dans mon message précédent qui te permettra de prouver les deux premières questions en même temps.
Top 
Envoyé: 14.10.2014, 20:49

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an+1-an

= (n+1)(0.9)n+1 - n(0.9)n

= n0.9n+1+0.9n+1 - n0.9n


Bon pour le moment?
Top 
Envoyé: 15.10.2014, 09:52

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Tu as développé.

RAPPEL : Je t'ai suggéré de FACTORISER : mets 0.9n en facteur.

Vu que 0.9n >0, le signe de an+1-an sera le signe du second facteur (simple), ce qui te permettra de répondre aux 2 premières questions.



modifié par : mtschoon, 15 Oct 2014 - 09:53
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Envoyé: 15.10.2014, 18:56

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= (n+1)(0.9)n+1 - n(0.9)n

= 0.9n(n+1 x 0.9 - n)

= 0.9n(1 x 0.9)

Top 
Envoyé: 15.10.2014, 19:36

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à la seconde ligne, mets les parenthèses autour de (n+1)

revois la 3eme ligne : elle est fausse
Top 
Envoyé: 15.10.2014, 21:08

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Ah oui, je refais :

= 0.9n((n+1)0.9 - n)

= 0.9n(0.9n + 0.9 - n)

Mais là du coup, je peux pas continuer?
Top 
Envoyé: 16.10.2014, 09:41

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Simplifie le second facteur.

0.9n-n=...
Top 
Envoyé: 16.10.2014, 17:38

Cosmos
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0.9^n(-0.9)

Fin je ne vois pas en quoi ça réponds à mes deux questions....
Top 
Envoyé: 16.10.2014, 20:13

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C'est encore inexact...

Tu dois trouver

a_{n+1}-a_n=0.9^n(0.9-0.1n)

Comme je te l'ai déjà dit , 0.9n > 0

Le signe de an+1-an est le signe de 0.9-0.1n

Tu cherches donc le signe de 0.9-0.1n suivant n

Je t'indique ce que tu dois trouver :

0.9-0.1n ≥ 0 <=> .... <=> n ≤ 9 : an+1-an ≥ 0 <=> an+1 ≥an

0.9-0.1n < 0 <=> .... <=> n > 9 : an+1-an < 0 <=> an+1 <an

Si tu n'arrives pas à réaliser ces calculs, ne les mets pas dans ton devoir car ça ne te servirait à rien.
Et n'oublie pas de faire des mises au point pour progresser en calcul numérique.
Top 
Envoyé: 16.10.2014, 20:43

Cosmos
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Je comprends quasiment rien, car il n'y a rien qui réponds à ma question.

Ni pour 1 ≤ n ≤ 9

Et ni, pour n ≥ 10

Bizarre
Top 
Envoyé: 16.10.2014, 22:41

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dernière visite: 19.10.17
Je t'ai mis en gras ce qui répond à ta question

( , Vu que n est un naturel non nul, n > 9 veut dire n ≥ 10 )

Bonne réflexion.
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