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exo suite géométrique |
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cococl
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Envoyé: 09.01.2006, 14:35
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enregistré depuis: jan. 2006
Messages: 2
Status: hors ligne
dernière visite: 22.01.06
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Bonjour, j’ai un exercice à faire sur les suites géométriques, j'ai démarrer mais je bloque pour la suite. Voici l’énoncé :
A. Au 1er Janvier 2002, le pays A compte 20 millions d’habitants et sa population augmente en moyenne annuellement de 1,6%.
On note Pn le nombre d’habitants (en millions) au 1er janvier de l’année 2002 + n
1° Montrer que la suite (Pn) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son terme initial P0.
En déduire l’expression de Pn en fonction de n.
2° On décide de modéliser l’évolution de la population du pays A par la fonction f définie sur [0 ;+inf.[ par :
f(t) = 20 * 1,016^t (* veut dire multiplier et ^ veut dire puissance de )
Où t est le temps écoulé depuis le 1er janvier 2002 et f(t) le nombre d’habitants au temps 2002 + t exprimé en millions.
a) Etudier le sens de variation de f sur [0 ; +inf.[
b) Calculer la limite de f en + inf.
B. Au 1er janvier 2002, le pays B compte 25 millions d’habitants et l’évolution de sa population est modélisée par la fonction g définie sur [0 ; +inf.[ par :
g(t) = 25 ( 1 + t)^0,11
1° Etudier le sens de variation de g
2° Calculer la limite de g en + inf.
3° A l’aide du graphique, lire en quelle année la population du pays A dépassera celle du pays B
C. Le but de cette partie est de retrouver par le calcul et avec plus de précision le résultat de la question 3° Partie B
1° On considère la fonction h définie sur [0 ; +inf.[ par :
h(t) = t ln(1,016) - 0,11 ln(1 + t) + ln0,8
a)Etudier le sens de variation de h
b) Montrer que l’équation h(t) = 0 a une unique solution M sur [0 ; +inf.[
Donner un encadrement de M à 10^-1 près
c) en déduire le signe de h(t) sur [0;+inf[
2°a) Montrer que, sur [0;+inf.[ :
f(t) >> g(t) < = > h(t) >>0
b) En déduire durant quelle année la population du pays A dépassera celle du pays B
J'ai donc fait :
Puisque la population augmente de 1,6% par an, la relation entre Pn et Pn+1 est :
Pn+1 = Pn + Pn * (1,6/100)= Pn + 0,016Pn = 1,016Pn
On a donc une suite géométrique de raison 1,016.
P0 est le nombre d'habitants en 2002 soit P0 = 20
2°a)On a donc ici f’(t) = 20*ln(1,016)*1,016^t
1,016>1 donc ln(1,016)>0
La fonction dérivée est strictement positive, la fonction f est strictement croissante
b) a = 1,016>1 donc lim 1,016^t = +inf.(kan x tend vers +inf.) soit lim f(t) = +inf. (quand x tend vers +inf.)
Pourriez vous me dire si c’est exact et m’aider pour la suite
Merci beaucoup
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flight
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Envoyé: 09.01.2006, 15:43
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Cosmos
enregistré depuis: fév. 2005
Messages: 530
Status: hors ligne
dernière visite: 28.10.07
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salut
ca à l'air un peu long à faire étant donné qu'il faut essayer de répondre à tout le monde sur le forum, pourrait tu nous dire à quels sont tes difficultés pour résoudre ce problème?
flight721
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