Exercice probabilité , Bernoulli...

Bonjour,

Bon, comme l'indique le titre, j'ai un exo sur les probas dont je comprends pas réellement l'énoncé mise à part les questions demandées.

Voici l'énoncé :

Un professeur construit un QCM de 20 questions, chaque question offrant trois réponses possibles dont une seule est exacte. On se demande à partir de quelle fréquence de réponses exactes on peut considérer, avec un risque d'environ 5% de se tromper, qu'un élève ne répond pas au hasard.

On suppose que l'élève répond totalement au hasard à chacune des questions, indépendamment des autres réponses, X est la variable aléatoire qui donne le nombre de bonnes réponses obtenues.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

Sur cette première question, je ne sais pas si faudrait faire plutôt un tableau avec les valeurs que peut prendre X ainsi que les proba de chacune de ces valeurs. Ou alors, X suit la loi de Bernoulli de paramètre p B(n ; p)

J'attends plus de précisions,
merci.

Bonjour,

Pour la loi de probabilité de X , je dirais B(20,1/3)

Bonjour,

Donc X suit la loi de Bernoulli de paramètre 0.3 soit B (20 ; 0.3)
Un moyen pr le prouver? Car je ne vois pas trop.
Ensuite, on me demande de calculer P(X≤k) pour 0 ≤k ≤20.
Sur cette question je dois donc calculer les proba de tt les événements 0 jusqu'à 20 ?

Désolé du double post, mais bon c'est un DM que je dois rendre pour demain...

Voici la prochaine question :

c. Déterminer la plus petite valeur de k telle que P(X ≤ k) ≥ 0.95
Sur cette question je dois trouver la valeur k qui est soit supérieur ou égale avec une probabilité qui est soit égale ou supérieur à 0.95. Donc en faîte, c'est LA valeur càd la valeur entre 0 et 20, soit 1 ou 2 ou 3 ect...

d. A partir de combien de bonnes réponses note rejetera-t'on l'hypothèse que l'elève à répondu au hasard, avec un risque d'environ 5% ?
Là par contre j'comprends pas trop... Une piste svp urgent.

Trop tard !

Veitchii, une prochaine fois, si tu as besoin d'aide, pose nous les questions sur ton devoir plusieurs jours avant de le rendre !

Je regarde un peu de quoi il s'agit.

En répondant totalement au hasard, chaque question est une épreuve dont la probabilité d'un succès (dont la valeur exacte est 1/3)
Tu est donc dans la situation du schéma de Bernoulli avec p=1/3

Tu as 20 questions, qui constituent 20 épreuves répétées indépendantes.
Soit X le nombre de succès.
X suit la loi binomiale de paramètres n=20 et p=1/3: B(20 ; 1/3)

attention: 1/3 ne vaut pas 0.3; 0.3 n'est qu'une valeur approchée de 1/3 . dans les formules, utilise 1/3

Soit k le nombre de succès (nombre de réponses exactes)

$p(x=k)=(20k)(13)k(23)20−kp(x=k)={{20}\choose {k}}(\frac{1}{3})^k(\frac{2}{3})^{20-k}$

Tu fais les calculs( k variant de 0 à 20) pour obtenir toutes les probabilités et déduire la suite.

Bonne nouvelle ! Ma professeur de Maths n'est pas là, donc j'ai la possibilité de le rendre jeudi 17 Avril.

Bref, revenons.

Pour la question ou il faut calculer les probabilités des événements, pour cela j'ai compris. Mais, quand on me demande justement de déterminer la plus petite valeur de k telle que P(X ≤ k) ≥ 0.95, que dois-je faire ? Il faut, grâce aux résultats précédents déterminer LA valeur qui corresponds à ce qui m'est demandé ?

Help, s'il vous plaît. Merci

Tu as du calcul numérique à faire ( à la calculette ou tableur )

Après avoir fait les calculs( k variant de 0 à 20) pour obtenir toutes les probabilités, tu fais les sommes et tu compares à 0.95

P(X ≤ 0)=P(X=0)=...
P(X ≤ 1)=P(X=0)+P(X=1)=...
P(X ≤ 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=...
...
...
...
P(X ≤ 9)≈0.91
P(X ≤ 10)≈0.96
...
...
P(X ≤ 20)=1

Vérifie les deux valeurs que je t'ai indiquées et tire la conclusion.

Ah je vois, donc faut tout simplement additionner chaque événement entre eux.. Oui oui c'est bon je viens de comprendre. Par exemple, tu trouves pour P(X ≤ 10) environ égale à 0.96 donc je peux dire que 0.96 est la valeur là plus proche de 0.96 donc la plus petite valeur telle que P(X ≤ k) ≥ 0.95 est 10. Tout simplement ?

oui, c'est ça et c'est bien 10 la valeur cherchée à cette question (mais dans ton devoir, il faudra faire une meilleur phrase)

Bien sûr, fais tous les calculs et vérifie mes valeurs.

Oui oui bien évidemment. Merci.

Ensuite, on me demande une question (qui pour moi ne veut rien dire) que je ne comprends pas vraiment le sens, fin je ne sais pas réellement quoi donner en réponse :

d. A partir de combien de bonnes réponses note rejetera-t'on l'hypothèse que l'elève à répondu au hasard, avec un risque d'environ 5% ?

Une piste?

Aussi ! Quand je calcule avec le tableur, je trouve pour 19 et 20 la proba égale à 1. Est-ce possible? J'imagine que non?

P(X ≤ 20)=1 est exact

P(X ≤ 19) ≈1 C'est n'est pas tout à fait 1, mais tout dépend de la précision du tableur.

Exactement, $\le 19)=1-p(x=20)=1-(\frac{1}{3})^{20}$ .

Pour la dernière question, tu n'as aucun calcul à fait.
Tu utilises la réponse précédente et tu raisonnes.

Oui donc voilà, je calcule P(X ≤ 19) = 1 - (1/3)^20 soit quelque chose environ égale à 1, ça devrait faire quelque chose comme ça : 0,999999 normalement.

Oui, j'pense bien. Mais comment raisonner une question comme celle-ci personnellement je vois pas.

Tu sais que, avec une probabilité inférieure ou égale 95%, l'élève a, au maximum 9 réponses exactes, s'il répond de façon totalement aléatoire.

Avec un risque de 5%, tu dois pouvoir conclure à partir de combien de réponses l'élève n'a pas répondu de façon totalement aléatoire.

Donc, si j'ai bien compris, il faut additionner toute les probabilités inférieur ou égale à 0.05 ?

Aussi ! Vous dîtes précédemment que P(X ≤ 9)≈0.91 ainsi que P(X ≤ 10)≈0.96 mais quand je fais le calcule avec le tableur et je trouve pour P(X ≤ 9) quelque chose d'environ égale à 0.95 et pour P(X ≤ 10) je trouve un résultat égale à 0.98. Ces deux valeurs sont différentes de les tiennes... Bizarre quand même.

Les valeurs que je t'ai suggérées de vérifier, elles ne sont qu'approximatives.
Je les ai obtenu avec un logiciel, mais je n'ai pas fait les calculs directement!
Pour 1/3 j'ai dû prendre 0.333333333333, ce qui n'est pas parfait vu qu'il faudrait une infinité de 3.
Alors, utilise tes résultats personnels, bien sûr, s'ils sont plus précis.

Pour la dernière question, je pense que tu n'as pas fait le lien avec la question précédente.
Ce seuil de 5% n'est pas un problème (il est associé au 95% de la probabilité précédente).
Ce n'est pas cela que tu dois observer. La réponse à donner est une conséquence directe de la réponse précédente, mais c'est à toi de la trouver.

Et, donc ce qu'on me demande c'est un chiffre. Ben je regarde tout simplement quand est-ce que la proba est supérieur à 0.95 et je conclue. Si admettons P (X ≤ 15) = 0.96, donc on rejetera l'hypothèse à partir de 15 bonne réponses?

non.

Relis tranquillement la question.

Il ne s'agit pas du cas où l'élève répond au hasard, c'est le contraire: il s'agit du cas où l'élève ne répond pas totalement au hasard.

J'ai refait aussi les calcules de P(X = k) ainsi que P(X ≤ k) car j'avais mis 0.3 au lieu de 1/3...

Ok, faut donc prendre le cas de la probabilité contraire.

Tu me dis qu'il faut prendre par rapport à la question précédente c'est à dire la 1) c. moi sur mon tableur pour la valeur là plus proche de 0.95 c'est P(X ≤ 12) = 0.96. Donc à 96%, l'élève répond totalement au hasard à 12 questions juste là c'est bon normalement.

Donc, maintenant, pour répondre à la question 1) d. on me demande quand il ne répond pas au hasard, logiquement ça devrait être le reste càd à partir de 12 bonne réponses il ne répond plus du tout au hasard.

Est-ce correcte ?

Effectivement, si tu as pris 0.3 pour 1/3, ce n'était guère une valeur "approchée".

Ton idée est bonne

Oui je vois c'est bon. Donc pour répondre à la question 1) d. je m'aide en effet de la question 1) c.

Ptit récap
Ps: Pour les P(X ≤ k), j'ai tout refait, et tes résultats coïncident enfin avec les miens. P(X ≤ 10) est bel est bien égale à 0.9623... en arrondissant, ça donne 0.96 tout court

c. P(X ≤ 10) = 0.96
d. C'est à partir de N+1 réponses exactes que l'on peut considérer qu'il ne répond plus du tout au hasard, donc 10+1 = 11. A partir de 11 bonnes réponses, l'élève ne réponds plus du tout au hasard. (chose pas logique m'enfin)

Cette fois, cela me semble bon !

(Mais je dirais plutôt qu'à partir de 10 réponses exactes (9+1) , l'élève ne répond pas totalement au hasard)

D'accord.

Une question, et après c'est tout bouclé. Qu'est-ce que cela signifie matérialiser la zone de rejet sur un graphique ?

Pour être sûre, je relis tout le topic car il a été un peu confus.

Au final,

P(X ≤9) < 0.95
P(X ≤ 10) > 0.95 inégalités vérifiées aussi bien avec tableur que logiciel.

Vu que pour N=10 la probabilitédépasse 0.95 pour la première fois, c'est à partir de cette note que, au risque de 0.05, on peut considérer que l'élève ne répond pas totalement au hasard.

Pour répondre à ta dernière question :

Il faut d'abord que tu aies fait des graphiques.

La zone de rejet sur un graphique, me semble correspondre à la réponse de la question 1)d) : A partir de combien de bonnes réponses rejetera-t-on l'hypothèse que l'élève ait répondu au hasard, avec un risque d'environ 5%