Probabilité. Variable aléatoire.


  • P

    Hello... Voila l'énoncé, j'espère que quelqu'un va me corriger.
    Monsieur A décide d'effectuer des inspections de routine des machines d'une salle informatique. Mais, il n'en inspecte pas plus de trois à chaque inspection.
    Soit X le nombre de machines vérifiées et Y le nombre de machines sur lesquelles un virus a été détecté.
    La loi conjointe du couple (X,Y) est décrite pas le tableau ci-dessous (j'ai juste recopier les donnés)
    P(X=1,Y=0)=0,20, P(X=1,Y=1)=0,10, P(X=1,Y=2)=P(X=1,Y=3)=0
    P(X=2,Y=0)=0,05,P(X=2,Y=1)=0,09,P(X=2,Y=2)=0,06,P(X=2,Y=3)=0
    P(X=3,Y=0)=0,15 ,P(X=3,Y=1)=0,11,P(X=3,Y= 2)=0,14,P(X=3,Y=3)=0,10
    Loi marginale
    P(X=1)=0,3,P(X=2)=0,2,P(X=3)=0,5
    P(Y=0)=0,4,P(Y=1)=0,3,P(Y=2)=0,2,P(Y=3)=0,1

    1)Quelles est la probabilité de ne détecter aucun virus informatique ?
    2)A quel nombre de virus Monsieur A peut il s'attendre ?
    3)Monsieur A décide d'inspecter trois machines.
    a)Quelle est la probabilité qu'aucune machine ne soit infectée par un virus détectable ?
    b) Combien de virus peut il s'attendre à détecter ?
    4)Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
    5)Quel est la probabilité que toutes les machines inspectées soient infectées par un virus détectable ?
    6)Lorsqu'une machine est inspectée, la vérification prend 10 minutes. Si de plus un virus est détecté, 15 minutes supplémentaires sont nécessaires pour purger la machine. Monsieur A commence son travail d'inspection à 9h. A quelle heure peut-il espérer avoir fini son travail ?

    Voila ce que j'ai fait :

    1-P(Y=0)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=3,Y=0)=0,4
    2-Pour cette question j'ai calculé l'espérance selon deux méthodes.
    1ère méthode : E(Y)= Somme des YiPi
    E(Y)=0
    0,4+10,3+20,2+30,1=1
    2èmeméthode : E(Z)=E(f(X ,Y))=Somme des Xi
    YiPi
    J'ai éliminé ceux qui sont nulles
    E(Z)=1
    10,1+120,09+220,06+310,11+320,14+330,1=2,59
    3)a) P(Y /x)=P(X=3,Y=0)/P(X=3)=0,15/0,5=0,3
    3)b)Aussi, selon deux méthodes.
    1èreméthode :E(Y) sachant X=3
    =0
    0,15+10,11+20,14+30,10=0,69
    2èmeméthode :E(Z)=E(f(X ,Y)) avec X=3=Sommes des 3
    YiPi
    =3
    00,15+310,11+320,14+33*0,10=2,07
    4- Je m'en passerai de cette question.
    5-j'ai considéré « toutes les machines »=X :3, « Infectées par UN virus »=Y :1
    Méthode 1 : P(X=3,Y=1)=0,11
    Méthode 2 : P(Y=1/X=3)=P(X=3,Y=1)/P(X=3)=0,11 /0,5=0,22
    6-en ce qui concerne cette question, je n'ai rien pu faire.
    Merciiiiii


  • mtschoon

    Bonjour,

    Quelques idées possibles ,

    1)OK

    2)Je calculerais E(Y) ( c'est à dire 1ère méthode )

    3)a) OK

    3)b) Tu dois calculer les probabilités comme au 3)a) vu que X=3

    Utilise la 1ère méthode mais en divisant chaque probabilité que tu indiques par 0.5

    1. Applique la définition de ton cours , en utilisant la loi conjointe et les lois marginales.
      Il faut savoir si , pour tout couple (i,j)

    $\tex{p(x=x_i,y=y_j)=p(x=x_i)\times p(y=y_j)$

    Un contre exemple suffit pour dire NON

    Pour X=1 et Y=3 : 0 ≠ 0.3 x 0.1

    1. Tu as mal interprété la question

    Pour X=1 , Y=1
    Pour X=2 , Y=2
    Pour X=3 , Y=3

    1. Pour chacun des 12 couples , tu calcules la valeur correspondante du temps T
      Tu as ainsi 12 valeurs de la variable T
      A chacune de ces valeurs , tu associes la probabilité du couple correspondant .

    Tu obtiens ainsi la loi de probabilité de la variable T

    Tu calcules ensuite l'espérance E(T)

    Tu ajoutes cette espérance à 9h pour avoir l'heure espérée de fin de travail


  • P

    Yay, merci de m'avoir corriger,
    j'ai compris toutes les remarques à part celle de la dernière question. Comment je pourrai calculer la valeur correspondante du temps T? J'ai du mal à saisir la réponse...


  • mtschoon

    Je te démarre le s calculs pour les valeurs de T :

    X=1,Y=0 : T=10

    X=1,Y=1 : T=10+15=25

    X=1,Y=2 : T=0 ( cas "impossible" )

    X=1,Y=3 : T=0 ( cas "impossible" )

    Essaie de poursuivre ( reposte si tu ne comprends pas )


  • P

    Ah, d'accord, voila ce que j'ai fait:

    X=2,Y=0: T=210=20
    X=2,Y=1: T=2
    10+15=35
    X=2,Y=2: T=210+215=50
    X=2,Y=3: T=0 cas impossible car P(X=2,Y=3)=0

    X=3,Y=0: T=310=30
    X=3,Y=1: T=3
    10+15=45
    X=3,Y=2: T=310+215=60
    X=3,Y=3: T=310+315=75

    J’espère que j'ai bien compris, c'est ça ?
    Sinon, vraiment merci pour l'aide. C'est très gentille.


  • mtschoon

    Cela me semble très bon !


  • P

    Yay merciiiiiii


  • mtschoon

    De rien !


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