3. Mettre un probleme en equation

Mettre un probleme en equation

  • M

    Énoncé : on se propose de résoudre le problème suivant. Trouver trois entiers naturels consécutifs, s'il en existe, qui soient les mesures des côtés d'un triangle rectangle.
    A. choix de l'inconnue
    on peut penser qu'il y a trois inconnues puisqu'on demande de trouver trois entiers naturels. Mais il est clair que si l'on trouve le plus petit des trois, par exemple, les autres s'en déduisent aussitôt : l'un en ajoutant 1, l'autre en ajoutant 2.
    Choisissons pour inconnue x le plus petit des trois naturels. Il convient alors de bien noter que x désigne un entier naturel ; x  N

    B. mise en équation
    on cherche à traduire le fait que trois nombres sont les mesures des côtés d'un triangle rectangle. Il est naturel de penser au théorème de pythagore

    1. exprimer les mesures des côtés du triangle en fonction de x
    2. préciser laquelle des trois est la mesure de l'hypoténuse
    3. vérifier que dans ce cas, le théorème s'écrit :
      (x + 2)2 = x2 + (x+1)2

    On dit alors que l'on a mis le problème en équation. résoudre le pb posé revient à résoudre l'équation

    Comme les solutions doivent appartenir à N, on dit que l'on doit résoudre l'équation dans N.

    C. résolution de l'équation dans R

    1. en remarquant que l'équation peut s'écrire :
      (x+2)2 - x2 = (x + 1 )2,
      Montrer que cette équation peut s'écrire :
      (y + s)(3 - x) = 0 (2)

    Méthode : utiliser l'identité remarquable :
    a2 - b2 =(a+b)(a-b)

    1. expliquer pourquoi l'équation (2) admet comme solution dans R les nombres -1 et 3.
      Parmi les solutions trouvées, nous ne gardons que celles qui sont dan N. Donc ici, 3 est la seule solution. Il y a donc trois nombres entiers naturels consécutifs, et trois seulement qui sont les mesures des côtés d'un triangle rectangle : 3, 4 et 5.

    Pour l'instant j'ai fait ca :

    B.

    1. Les mesures des cotés du triangle en fonction de x sont : x, x+1 et x+2.
    2. La mesure de l'hypothenuse est x+2.
    3. (x+2)² = x² + (x+1)² donc oui c'est ca.

    Ensuite je comprends rien à la C, j'arrive pas du tout a avancé... Pouvez vous m'aider svp ?

    Zorro 1 réponse
  • Zorro

    Bonjour

    Avec Pythagore tu as bien trouvé (x + 2)²= x² + (x+1)²

    Soit (x + 2)² - x² = (x+1)²

    Soit [ (x+2) - x] [ (x+2) + x] = (x+1)²
    car A² - B² = [ A+B]    [ A-B]

    M 1 réponse
  • M

    et apres faut que je developpe avec le x et -x ?

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