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Fomctions exponentielles |
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akira
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Envoyé: 02.01.2006, 09:38
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On vient de commencer les fonctions exponentielles et ici c'est mon exo de devoir maison pour les vacances et j'ai vraiment beaucoup de mal, j'arrive pas a cerner ce qui est demandé... Merci de m'aider!
On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0; +inf/ [ par:
f(x)=1-x^2 e1-x^2
1. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Montrer que l'équation f(x)=1/n admet deux solutions un et vn , respectivement dans les intervalles [0;1] et [1;+inf/ [.
2. Sur un graphique, construire sur l'axe des abscisses les réels un et vn, pour n appartenant a l'ensemble {2, 3, 4}.
3. Déterminer le sens de variation des suites (vn) et (un ).
4. Montrer que la suite (un ) est convergente et déterminer sa limite.
Procéder de même pour la suite (vn ).
En déduire que les suites (vn) et (un ) sont adjacentes.
modifié par : akira, 07 Jan 2006 @ 19:46
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akira
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Envoyé: 07.01.2006, 19:47
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Personne n'aurait juste une petite idée?
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Zauctore
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Envoyé: 07.01.2006, 21:03
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Cosmos
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Salut Akira.
On l'avait oublié, ton sujet !
1.
On a f(0) = 1 ; f(1) = 0 : puisque 0 < 1/n < 1 et puisque f est continue, ceci montre que f(x) = 1/n possède au moins une solution dans l'intervalle ]0 ; 1[.
D'autre part, on a limx -> +inf/ f(x) = 1, car 1-x² tend vers -inf/, donc x²e1-x² tend vers 0. Ainsi, on voit que f(x) = 1/n possède aussi au moins une solution dans l'intervalle ]1 ; +inf/[.
Maintenant, en calculant la dérivée de f, tu trouves (après calculs)
f '(x) = 2x (x² - 1) e1-x² .
Or, x² - 1 < 0 pour x app ]0 ; 1[ et x² - 1> 0 pour x > 1 : ceci montre que f est strictement monotone sur les intervalles [0 ; 1] et [1 ; +inf/[. Donc l'équation f(x) = 1/n ne peut avoir qu'une seule solution dans chacun d'eux.
Voilà pour commencer. Dis-nous quoi pour les questions 3 et 4.
@+
Z, auctore.
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akira
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Envoyé: 08.01.2006, 17:45
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Merci beaucoup, ca m'aide bien deja...
Pour le 2 je calcule v2 v3 ... etc...??
Pour le 3 je fais un tableau de variation?
C exact?
modifié par : akira, 11 Jan 2006 @ 22:09
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akira
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Envoyé: 13.01.2006, 20:51
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s'il vous plait...
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