3. fractions continues-nombre d'or -second degré

fractions continues-nombre d'or -second degré

  • S

    Bonjour
    Voilà j'ai un DM de maths et je bloque beaucoup sur les questions... Je n'ai jamais vu cela en cours et le prof nous a dit qu'il fallait faire une "recherche". Mais je n'arrive toujours pas à trouver et encore moins à comprendre...
    Merci de bien vouloir m'aider!
    Je vous met tout le sujet :
    Exercice
    On note O le réel suivant : O = 1 +.... 1
    ..................................................-------------- (fraction infinie)
    ...................................................1 +.. 1
    ........................................................---------
    .........................................................1 + 1
    ..............................................................-----
    ..................................................................
    ...
    ----- = (Je ne sais pas faire un trais de fraction sur le message alors je fais des tirets.. Je sais c'est
    ... pas terrible mais je sais pas comment faire autrement )

    1. Exprimer O "racine de" -1 = 1 comme une fraction infinie.
      ............................................----
      .............................................O
    2. Exprimer O - 1 comme une fraction infinie.
    3. En déduire une équation du second degré (Eo) dont O est une solution.
    4. Montrer alors que O "racine de" 2 = 2 +.....1
      .............................................................-------------
      ..............................................................1 +.. 1
      ...................................................................---------
      ....................................................................1 + 1
      .........................................................................-----
      .............................................................................
    5. Montrer que l'équation (Eo) est équivalente à ( x- 1 ) "au carré" - 5 = 0
      ..........................................................................---.................. ---
      ...........................................................................2................... 4
    6. Résoudre l'équation (Eo)
    7. En déduire une expression plus simple de O

    Merci par avance.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Pas facile à lire ton énoncé...

    Si tu fais des recherches , utilise les mots clés "fraction continue et nombre d'or"

    Le O dont tu parles est Φ ( nombre d'or)

    Quelques pistes,

    1. Je suppose qu'il s'agit de ϕ−1=1ϕ\phi^{-1}=\frac{1}{\phi}ϕ−1=ϕ1​ ( ne parle pas de "racine" mais parle "d'exposant" )

    ϕ−1=1ϕ=11+11+...\phi^{-1}=\frac{1}{\phi}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}ϕ−1=ϕ1​=1+1+...1​1​ (explicite plus...)

    1. ϕ−1=1+11+11+...−1=11+11+...\phi -1=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}-1= \frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}ϕ−1=1+1+1+...1​1​−1=1+1+...1​1​ (explicite plus...)

    2. Conséquence de 1) et 2) :

    1ϕ=ϕ−1\frac{1}{\phi}=\phi-1ϕ1​=ϕ−1

    En faisant , par exemple , les produits en croix , tu trouves :

    1=ϕ×(ϕ−1)1=\phi\times (\phi-1)1=ϕ×(ϕ−1)

    En transformant , tu trouveras :

    ϕ2−ϕ−1=0\phi^2-\phi-1=0ϕ2−ϕ−1=0 donc ...

    Essaie de poursuivre.

    REMARQUE : pour écrire les lettres grecques , regarde au dessous du cadre-texte et clique sur
    Lettres grecques

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