Démontrer un théorème à l'aide du produit scalaire

Bonjour

J'aimerais avoir votre aide svp

Soient AB et CD deux vecteurs non nuls
AB.CD=ABCD si les deux vecteurs sont de même sens
AB.CD=-ABCD si les deux vecteurs sont de sens contraire

Pouvez vous m’expliquer svp d'où provient ce théorème sans faire intervenir la formule du produit scalaire avec l'angle ?

Merci d'avance

Bonjour,
Trace un repère orthonormé (A,i,j) de telle sorte que le vecteur i ait le même sens que le vecteur AB
Les coordonnées de AB sont donc (k,0) où k est positif.
En revanche les coordonnées du vecteur CD sont (-h,0) où h est positif (et -h négatif).

$fichier math$
Le produit scalaire de AB par CD vaut donc k(-h) + 0*0 = -kh : il est négatif.

Comment retrouver cette égalité
AB.CD=ABCD
AB.CD=-ABCD

h= CD
et k=AB ???

Sur mon dessin, je n'ai traité que le second cas : les vecteurs AB et CD de sens contraires.
Le premier cas se traite de façon analogue, mais les coordonnées du vecteur CD seront (h,0) toujours avec h positif.

Bien entendu, la distance AB vaut k et la distance CD vaut h.

Mais donc l'explication n'est valable seulement si on considère que le vecteur i (unitaire) est colinéaire aux vecteurs AB et CD, ce n'est donc pas une explication générale (pour tous les cas) ??

Citation
AB.CD=ABCD si les deux vecteurs sont de même sens
AB.CD=-ABCD si les deux vecteurs sont de sens contraireCela suffit pour traiter ces deux cas.