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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Complexes

- classé dans : Complexes

Envoyé: 14.04.2013, 22:20



enregistré depuis: avril. 2013
Messages: 3

Status: hors ligne
dernière visite: 15.04.13
Bonsoir, je laisse un message sur ce forum car je bloque sur la dernière question d'un exercice sur les complexes. Je vais donc rédiger l'énoncé et les réponses aux questions précédentes car elles sont utiles pour résoudre celle que je ne trouve pas :

On considère le nombre complexe z=1-√(3) + i(1+√(3))
1. Écrire z² sous forme algébrique
2. Déterminer le module et un argument de z²
3. Déterminer la forme trigonométrique de z
4. En déduire la valeur exacte de cos(7π/12) et sin(7π/12)

1. Pour z² je trouve -4√3 -4i

2. Je trouve donc |z²|=√(-4√(3))²+(-4)² = √(64) = 8
Puis cos θ = -4√(3)/8 = -√(3)/2
et sin θ = -4/8 = -1/2
Soit arg(z²)= 7π/6 [2π]

3. On sait que |z²|=|z|.|z|
Soit |z|=√(8)
De plus, arg(z²)=arg(z)+arg(z)
Soit arg(z²)=2arg(z)
Donc arg(z)=7π/6 x 1/2 = 7π/12

La forme trigonométrique de z est : z=√(8).(cos(7π/12)+isin(7π/12)

4. Et voila la question qui me pose problème. Je connais cos (7π/6) et sin (7π/6) et je ne pense pas que cela soit possible de procéder comme suit : cos (7π/12) = 1/2 cos (7π/6). Y a t-il une propriété à appliquer ? icon_confused

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Envoyé: 14.04.2013, 23:04

Modératrice


enregistré depuis: févr.. 2011
Messages: 9307

Status: hors ligne
dernière visite: 22.11.17
Bonsoir,

Tu as presque tout fait :

z=1-\sqrt 3+i(1+\sqrt 3)=2\sqrt 2(\cos\frac{7\pi}{12}+i\sin \frac{7\pi}{12}\)

En identifiant les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles , tu pourras obtenir les réponses cherchées.
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Envoyé: 14.04.2013, 23:41



enregistré depuis: avril. 2013
Messages: 3

Status: hors ligne
dernière visite: 15.04.13
Donc on obtient :
z= 1-√(3) +i(1+√(3)) = 2√(2)(cos(7π/12)+isin(7π/12))
Soit cos(7π/12)= (1-√(3))/2√(2)
et sin(7π/12)= (1+√(3))/2√(2)

Je vous remercie pour votre aide icon_smile
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Envoyé: 15.04.2013, 09:26

Modératrice


enregistré depuis: févr.. 2011
Messages: 9307

Status: hors ligne
dernière visite: 22.11.17
C'est bon !
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