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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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congruences

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 06.12.2005, 18:21

Constellation
fabulous

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bijour tout le monde! j'ai un petit exo qui n'a l'air de rien mais qui m'embêtre beaucoup! voici l'énoncéquels sont les entiers relatifs x pour lesquels on a simultanément:
3x= 1[5] et 5x= 2[7]?
j'ai tenté une premiere méthode mais je trouve une fraction :S
j'espère que vous pourrez m'aider!! :(
merci d'avance
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Envoyé: 06.12.2005, 18:23

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salut.

quel est l'inverse de 3 modulo 5 ?
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Envoyé: 06.12.2005, 18:25

Constellation
fabulous

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je comprends pas la question?
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Envoyé: 06.12.2005, 18:28

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il serait bien de pouvoir diviser par 3, pas vrai ? c'est-à dire de multiplier par l'inverse de 3, modulo 5.
le problème ici consiste à déterminer un nombre entier p tel que 3p = 1[5].
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Envoyé: 06.12.2005, 18:30

Constellation
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oula j'ai du mal a comprendre le but
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Envoyé: 06.12.2005, 18:35

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"long est le chemin..."
je te montre : on a 3 . 2 = 6 = 1 [5]
c'est-à-dire que 2 est l'inverse de 3 modulo 5 ;
donc
3x = 1[5] equiv/ x = 2[5]
equiv/ x = 2+5k, k app/Z
c'est un début.





modifié par : Zauctore, 06 Déc 2005 @ 17:36
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Envoyé: 06.12.2005, 18:43

Constellation
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pour voir qi j'ai compris : dans le second cas on a 5*6=30=2[7]
donc il faut resoufe x=6[7] equiv/ x=7k+6 ?
et après je resoud 2+5k=7k+6?
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Envoyé: 06.12.2005, 18:48

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pas vraiment, mais c'est bien d'avoir essayé.
il faut trouver (par essais : il n'y a aucune autre méthode) un entier "q" tel que
5q = 1 [7].
ce "q" permettra de se débarasser du coefficient 5 devant x : c'est une sorte de division.
ensuite, dans la fin de ce que tu as écrit, je ne vois pas pourquoi ce serait le même k.



modifié par : Zauctore, 06 Déc 2005 @ 17:49
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Envoyé: 06.12.2005, 18:53

Constellation
fabulous

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mais pourqou a chaque fois on se ramène a 1[7] ou et pas a 2[7]?
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Envoyé: 06.12.2005, 19:00

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en effet : je ne cherche pas de solution particulière à tes congruences, ici.

n et i sont inverses l'un de l'autre si et seulement si le produit
n . i = 1. Ainsi, on peut diviser par n en multipliant par i.
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Envoyé: 06.12.2005, 19:17

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alors tu as dû trouver 5 . 3 = 15 = 1 [7]
donc 5x = 2 [7] equiv/ x = 6 [7] (finalement ton truc de 18:43 est bon).
etc avec k'.
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Envoyé: 06.12.2005, 19:35

Constellation
fabulous

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oui g retrouver ca
bon j'essaie de faire la suite :S
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Envoyé: 06.12.2005, 19:50

Constellation
fabulous

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est ce que je dois trouver a la fin : ce son tous les x de la forme x= 35K-8 avec K app/ Z
Top 
Envoyé: 06.12.2005, 20:08

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en n'ayant que des coefficients positifs, c'est équivalent à x = 27 + 35n, avec n app/ Z.
@+
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Envoyé: 06.12.2005, 21:16

Cosmos
flight

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salut,
3x= 1[5] et 5x= 2[7]

est équivalent à 3x-1=5k (1)
et 5x-2=7k' (2)


de (1) on tire que x=5k+1/3 que l'on subsitue dans (2) soit;

25k-21k'=1 25 et 21 sont premiers entre eux car leur pgcd vaut 1

on a k=-5-21p p appart à Z merci à p qui devient la variable unique à choisir!
et k'=-6-25p

si p=0 on a k=-5 et k'=-6

alors ; de (1) on tire que 3x=1+5(-5)=1-25=-24 et x=-8
de (2) on tire que 5x=2+7(-6)=2-42=-40 et x=-8

il existe donc une infinité de solution


donc de manière generale : 3x=1+5(-5-21p) (1)
et 5x=2+7(-6-25p) (2).

soit 3x=1-25-105p=-24-105p et x= -8-35p

et pour (2) 5x=2-42-175p=-40-175p et x=-8-35p


alors pour conclure voici la solution finale : X=-8-35.P et on choisis librement P dans Z



a+




flight721
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Envoyé: 06.12.2005, 23:36

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dernière visite: 31.03.06
Salut! effectivement:

3*x=1[5] => il existe k relatif tel que 3*x=1+5*k (cours)

5*x=2[7] => il existe k' relatif tel que 5*x=2+7*k' (cours)

Il ne reste plus qu’à résoudre ce petit système :

3*x=1+5*k
5*x=2+7*k'

donc 0=-1+25*k-21*k'
c'est a dire 1=25*k-21*k' solution particulière (k,k')=(16,19)
donc k=16+a*21 k'=19+a*25, a relatif
donc 3*x=1+5*(16+a*21), a relatif
donc 3*x=1+80+105*a=81+105*a

donc x=27+35*a avec a relatif
Top 
Envoyé: 06.12.2005, 23:37

Une étoile


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