Etude des variation d'une fonction


  • A

    Bonjour tout le monde
    J'ai des difficultés avec les maths.Un bon coup de main m'aiderais beaucoup !

    Voici l'exercice :
    On considérée la courbe C d'équation y=4-x²
    Soit M un point de C d'abscisse t appartenant ]0;2]
    La tangente à C en M coupe l'axe des abscisses en P et l'axe des ordonnées en Q. Déterminer t pour que l'aire du triangle OPQ soit minimum.

    Voici ce j'ai fait :
    j'ai trouvé la dérivée qui est -2x
    et l'équation de la tangente au point t y'=-2tx+t²+4 est ce correct ? et que dis je faire par la suite ?


  • mtschoon

    Bonjour,

    L'équation de la tangente est bonne mais n'écrit pas y'

    c'est

    y=−2tx+t2+4y=-2tx+t^2+4y=2tx+t2+4

    Piste pour la suite ,

    Tu poses :

    g(t)=aire(opq)=op×oq2g(t)=aire(opq)=\frac{op \times oq}{2}g(t)=aire(opq)=2op×oq

    op=xpop=x_pop=xp

    xPx_PxP est la solution de -2tx+t²+4=0 Tu calcules

    oq=yqoq=y_qoq=yq

    yQy_QyQ vaut -2t.0+t²+4=t²+4

    Tu peux dons exprimer g(t) en fonction de t

    Pour t appartenant à ]0,2] , tu étudies las variations de g et tu en déduiras le maximum.


  • A

    Bonjour, j'ai étudier un post sur le même exercice que je vais vous proposer mais je ne comprends pas certaines chose.

    Exercice: On considère la courbe C d’équation y= 4-x²
    Soit M un point de C d'abscisse t ∈ ]0;2]
    La tangente à C en M coupe l'axe des abscisses en P et l'axe des ordonnées en Q.
    Déterminer t pour que l'aire du triangle OPQ soit minimum.

    J'ai donc dans un premier temps étudier le cas avec Geogebra pour avoir les idées claires.
    Ensuite j'ai calculer la dérivée de 4-x² qui vaux y'=-2x.
    Par la suite j'ai calculer l’équation de la tangente:
    y= -2t(x-t)+4-t²
    y= -2tx+t²+4

    J'ai donc Aire(OPQ)= (OP x OQ) /2
    OP=Xp, pour trouver Xp je calcul -2tx+t²+4=0
    Delta= (-2tx)²-16t²
    delta= 4(tx)²-16t²
    delta=√2tx-4t

    x1= (2tx-2tx+4t)/2= 2t
    x2= (2tx+2tx-4t)/2= 2tx-2t

    Mais je ne sais en aucun cas a quoi corresponds OP.

    Pour le calcul de OQ=Yq on résous Yq= -2t*0+t²+4=t²+4

    Donc on as ou: A(OPQ)= (2t(t²+4))/2 = t³+4t
    ................ ou: A(OPQ)= ((2tx-2t)(t²+4))/2 = (2t³x+8tx-2t³-8t)/2 = t³x+4tx-t³-4t = x(t³+4t)-(t³+4t)

    Mais après cela je suis perdu ....

    J'espere une aide précieuse, merci beaucoup
    😁 😁 😁 😁


  • mtschoon

    Je te calcule OP et OQ simplement.

    P est le point de la tangente appartenant à l'axe des abscisses: son ordonnée vaut 0

    0=-2tx+t²+4 <=> 2tx=t²+4 (équation du premier degré)

    D'où x=op=t2+42tx=op=\frac{t^2+4}{2t}x=op=2tt2+4

    Q est le point de la tangente appartenant à l'axe des ordonnées : son abscisse vaut 0

    y=oq=2t(0)+t2+4=t2+4y=oq=2t(0)+t^2+4=t^2+4y=oq=2t(0)+t2+4=t2+4

    Ensuite, tu calcules l'aire du triangle


  • A

    Ca me fait donc
    =(((t²+4)²)/2t)/2
    =(t³+4t)/2= t³/2+2t
    qui n'est pas simplifiable, donc je ne voit pas le rapport avec la question de l'exercice: Determiné t pour que l'aire soit minimale, vu que la réponse est 1,19 par observation geogebra, alors qu'avec ce que je trouve si t=0, A(OPQ)=0 je ne comprend vraiment rien, si je pouvais avoir d'autre piste par rapport au calcul de t pour que A(OPQ) soit minimale ce serai une grande aide, 😕 😕

    Merci 😁


  • mtschoon

    Ta simplification de g(t) est fausse

    Revois : tu dois trouver, sauf erreur

    g(t)=(t2+4)24tg(t)=\frac{(t^2+4)^2}{4t}g(t)=4t(t2+4)2

    Ensuite, tu calcules g'(t) et son signe sur ]0,2]


  • A

    Je trouve bien (t²+4)²/4t, ensuite j'etudie le signe de g(t) donc
    x............ / 0............2
    t²+4....... /......+......0
    4t........... /0....+........
    (t²+4)²/4t/0....+......0

    Mais ensuite comment trouver la valeur de t puisqu'il n'y as pas de trinôme pour calculer alpha et bêta, si tu as des pistes je prendrais volontiers

    Merci 😁 😁


  • mtschoon

    Le signe de g(t) ne sert à rien pour trouver les variations de g ( regarde ton cours)

    Tu confonds g'(t) et sa dérivée g'(t)

    Relis mon dernier post.

    Je t'ai écrit :

    Citation
    Ensuite, tu calcules g'(t) et son signe sur ]0,2]


  • A

    Je calcul donc g'(t):
    g'(t)=(t²+4)²/4t
    ......=2(t²+4)/4t
    ......=2t²+4/4t
    ......=(4t*4t-4(2t²+4))/16t²
    ......=(16t²-8t²-16)/16t²
    ......=(1/2)-(1/t²)

    apres je résous 1/2-1t²=0 ? ce qui me fait 1/2=1/t² → 2=t² →t=√2 ??


  • mtschoon

    Ton calcul de dérivée est très bizarre...

    Utilise la dérivée d'un quotient.

    Quand tu auras fait ton calcul correctement, il ne faudra surtout pas développer le numérateur, il faudra penser à mettre (t²+4) en facteur au numérateur.

    Tu devras trouver :

    g′(t)=(t2+4)(12t2−16)16t2g'(t)=\frac{(t^2+4)(12t^2-16)}{16t^2}g(t)=16t2(t2+4)(12t216)

    Après simplification par 4 :

    g′(t)=(t2+4)(3t2−4)4t2g'(t)=\frac{(t^2+4)(3t^2-4)}{4t^2}g(t)=4t2(t2+4)(3t24)

    Bon calcul !


  • A

    Je n'ai pas encore vu de formle de dérivée au carré sauf x²=2x 😕


  • mtschoon

    La dérivée de [U(t)]² est 2U(t)U'(t)

    ( si tu ne la connais pas, tu peux la trouver avec le dérivée d'un produit )

    Donc, la dérivée de (t²+4)² est 2(t²+4)(2t)=4t(t²+4)


  • A

    Je ne comprend vraiment rien a la fin de l'exercice ...., tu ne peut pas m'avancer au calcul de T stp ?


  • mtschoon

    Lorsque tu auras g'(t), tu étudies son signe sur ]0,2]

    Vu que (t²+4) et 4t² sont positif, g'(t) est du signe de (3t²-4)

    Tu as donc seulement à étudier le signe de (3t²-4) sur ]0,2]


Se connecter pour répondre