suites géométrique

Bonjour j'ai un exercice à faire concernant les suites, voici l'énoncé:
la population d'une ville est de 100 000 habitants en 2012. On émet l'hypothèse que la population de cette ville va diminuer régulièrement de 5% par an. Pour tout n ∈ N, on note $u_n$ le nombre d'habitants en 2012.

Déterminez la nature de la suite $u_n$ ).
En quelle année la pop de cette ville sera-t-elle inférieure, pour la première fois, à 50 000 habitants?

j'ai répondu à la première question en notant que:
$u_0$ = 100 000
$u_{n+1}$ = $u_n$ ×0. $95^n$ $u$ _n $u_0$ ×0, $95^n$ .

Donc la suite est géométrique de raison 0,95.

Mais la ou je bloque c'est à la deuxième question parcque j'ai posé la question sous forme math mais je sais pas résoudre l'inéquation avec l'inconnu en exposant:
il s'agit de determiner
$u_0$ × 0. $95^n$ < 50 000
100 000 × 0. $95^n$ < 50 000

Bonjour,

Tu ne peux pas résoudre l'inéquation mathématiquement cette année...il faudra attendre les logarithmes en Terminale.

$100000×0.95n≤50000100000\times 0.95^n \le 50000$

Après transformation :

$0.95n≤50000100000.95^n \le \frac{50 000}{10 000}$

Finalement :

$0.95n≤0.50.95^n \le 0.5$

Tu termines à la calculette ( en faisant des tests sur 0. $95^n$ )

( *ça devrait être pour n=14 ( que tu traduis en année ) , mais vérifie *)

Merci, c'est bien 14 années, mais si je ne peux pas résoudre l'inéquation il y a surement une autre manière de poser le problème où j'utilise uniquement des connaissances de premières? Mais j'en vois pas

En Première , il n'y en a pas...on fait du "tatonnement calculette"...

Tu peux seulement faire plus "propre" en utilisant un tableur et faire calculer en colonne les valeurs de 0. $95^n$

Pour n=14 , n'oublie pas de donner l'année correspondante.

OK, vu que n=14
$u_{14}$ = 2026
Merci

C'était avec plaisir !