Trapèze rectangle avec produits scalaires

Bonjour

J'ai fait un exercice mais j'aimerai vérifier mes résultats:

ABCD est un trapèze rectangle. Calculer les produits scalaires:

DC=2, AD=4, AB=6

AB.DC=6*2=12
BA.DA=-6*-4=24
BC.BA= √32*-6=-6√32
CD.CB=-2*-√32=2√32
AC.BA=√20*√32≈25.3

Merci de votre aide.

Bonjour,

Commence par joindre une figure, car ton énoncé est incomplet : le trapèze est rectangle, soit, mais où sont les angles droits ?
Est-ce que tu ne confondrais pas produit scalaire avec produit des longueurs ?

Oui je confonds c'est pour cela que je demande de l'aide :frowning2:

Place le point E, sur [AB], de manière que AECD soit un rectangle.
Que peux-tu dire du vecteur $ae⃗\vec{ae}$ ?

$fichier math$
Le vecteur AE=vecteur DC=2

Non. Il s'agit bien de la confusion dont on parlait, entre vecteur et distance.
vect AE = vect DC : oui.
Mais un vecteur n'est pas un nombre ! Tu ne peux pas écrire que ces vecteurs valent 2 !!
Pour bien distinguer les vecteurs des longueurs, écris AE = 2 pour la longueur, mais écris :
vect AE, ou AE (en gras), ou $ae⃗\vec{ae}$ si tu sais utiliser le Latex.

Les deux distances (longueurs) AE et AD sont-elles égales ?
Les deux vecteurs AE et AD sont-ils égaux ?

vecteur AE=1/2AD (vecteur)
Les distances AE et AD ne sont pas égales.

Citation
Les distances AE et AD ne sont pas égales.Exact : l'une vaut 2 et l'autre vaut 4.

Citation
vecteur AE=1/2AD (vecteur)Faux : Si vect AE était égal à 1/2 vect AD, c'est que E serait le milieu du segment [AD], ce qui n'est pas.
Les deux vecteurs AE et AD ne sont pas colinéaires : les points A,D,E ne sont pas alignés.
Deux vecteurs sont colinéaires lorsque les droites qui les portent sont confondues ou parallèles.

Que peux-tu dire des vecteurs AB et AD ?

Ils ne sont pas colinéaires tout comme AD et AE

N'écris pas AD et AE pour désigner des vecteurs !
AD et AE désignent des distances .
Écris vect AD, ou AD.

Les deux vecteurs AB et AD ne sont pas colinéaires : c'est juste. Mais ils sont quand même particuliers à cause du trapèze rectangle.

Pour la 1) je peux utiliser cette formue:
AB.DC=ABDCcos BÂD

Citation
AB.DC=ABDCcos BÂDVect AB . vect DC !!
Oui, tu peux utiliser cette formule.
Attention : l'angle est un angle de vecteurs, pas un angle "géométrique" (comme en collège).

Cela me donne vectAB.vectDC=0

Non : tu t'es trompé d'angle dans ta formule :
Vect AB . vect DC = ABDCcos(vect AB,vect DC)

J'avais mis cos(90)

Pas pour ce produit scalaire là.
L'angle (vect AB,vect DC) mesure 0°
Par contre, c'est l'angle des vecteurs AB et AD qui mesure 90°

Mais du coup le produit scalaire vaut 0 car vectAB.vectDC=ABDCcos(vectAB,vectDC)=620=0

Non. Que vaut cos 0 ?

Il vaut 1 donc vectAB.vectDC=12

Oui.
Que peut-on dire de deux vecteurs dont le produit scalaire est nul ?

Que les vecteurs son orthogonaux.

Pour le 2) vectBA.vectDA=-6*-4cos(90)=240=0

Oui, mais inutile ici de détailler un calcul : il suffit de dire que les deux vecteurs BA et DAsont orthogonaux car les droites (BA) et (DA) sont perpendiculaires (trapèze rectangle).

D'accord. Pour la 3) vectBC.vectBA=√32*-6cos(45)=-6√32√2/2

Non.
Explique pourquoi (-6) et pas 6 .

car vectBC.vectBA=vectBC.vect-AB d'où le -6

Reprends ta formule :
vect BC . vect BA = BCBAcos(vect BC,vect BA)
BCBA désigne le produit des longueurs qui sont positives.
Reste l'angle des vecteurs : vaut-il bien 45° ?
Oui.
Donc vect BC . vect BA = 6√32cos(45°)
= 6√32*√2/2
Achève le calcul (regroupe les racines carrées.

Oui donc c'est égal à 24.

Pour le 4) vectCD.vectCB=2√32cos(135) car 90°+45°=135°
=2√32*-√2/2=-8

Oui.

Et enfin pour le 5) AC.BA=√206cos(45)=6√20*√2/2=6√10

Non.
L'angle des vecteurs AC et BA n'est pas 45° : attention au sens des vecteurs.
C'est l'angle des vecteurs AC et AB (pas BA) qui mesure 45°.

c'est cos(90°)

Non : ça voudrait dire que (AC) et (AB) sont perpendiculaires.
L'angle des vecteurs AC et BA mesure 135°
Il y a d'autres manières plus simples de s'en sortir. Je te les montrerai si tu le souhaites.

vectAC.vectBA=6√20*-√2/2=-6√10

Je veux bien connaitre les autres manières

$fichier math$
Le produit scalaire AB.AC est égal au produit scalaire AB.AH
Ce dernier est très facile à calculer :
-ou bien les deux vecteurs AB et AH sont de même sens (comme sur le dessin) auquel cas AB.AH = ABAH (les longueurs)
-ou bien les vecteurs AB et AH sont de sens contraire auquel cas leur produit scalaire est négatif : AB.AH = -ABAH

Reprenons par exemple la question 5):
AC.BA = AE.BA = -6*2 (moins car les deux vecteurs AE et BA sont de sens contraire).
Et tu vois que je m'étais trompé : l'angle des vecteurs AC etBA ne mesure pas 135° (ni d'ailleurs 45°) : le triangle AEC n'est pas isocèle.

vectAC.vectAB=-12 c'est le projeté orthogonal

Non : vect AC.vect AB = +12
Mais vect AC.vect BA = -12

La propriété que je t'ai indiquée fait effectivement intervenir le projeté orthogonal d'un des vecteurs sur l'autre.

D'accord merci beaucoup beaucoup pour votre je crois que je ne devrait plus confondre entre vecteurs et distance!