Fonction exponentielle, intégrale ET suite.


  • N

    Bonjour,
    Pourriez vous m'aider à résoudre cet exercice? Merci.
    J'ai réussi la première partie.
    1)Soit la fonction défini sur IR par : f(x)=x2e1−xf(x)=x^{2}e^{1-x}f(x)=x2e1x
    a. Trouver les limites. En +(inf), on a 0+ et en -(inf), on a +(inf) (je n'ai pas trouvé le symbole 'infini' !)
    b. Determiner f' : f′(x)=2xe1−x−x2e1−xf'(x)=2xe^{1-x}-x^{2}e^{1-x}f(x)=2xe1xx2e1x
    c. Donner le tableau de variation : sur ]-(inf);0], f décroit ; sur ]0;2[, fr croit et sur ]2;+(inf)[, f décroit.
    2) On considère l'intégrale ini_{n}in défini par in=∫01xne1−xdxi_{n}=\int_{0}^{1}{x^{n}e^{1-x}}dxin=01xne1xdx
    a. Calculer I1=-2+e et I2=-5+2e
    b. Ici, je bloque. Donner une interprétation graphique du nombre I2. Je ne vois pas ce qu'il faut trouver. Faut-il faire un lien avec la première partie? Mais comment?
    c. Etablir une relation entre in+1i_{n+1}in+1 et ini_{n}in. Tout ce que j'ai réussi à prouver pour l'instant c'est que cette suite n'est ni arithmétique ni géometrique. Je ne sais pas comment continuer...


  • M

    Bonjour,
    peux-tu préciser tes calculs pour I1 et I2 ?


  • N

    Oui, bien sur.
    Il fallait intégrer par partie pour les deux.
    Pour I1, j'ai donc :
    i1=∫01xe1−xi_{1}=\int_{0}^{1}{xe^{1-x}}i1=01xe1xdx
    ∫01xe1−xdx=[−xe1−x]1<em>0−∫</em>01−e1−xdx\int_{0}^{1}{xe^{1-x}}dx=[-xe^{1-x}]^{1}<em>{0}-\int</em>{0}^{1}{-e^{1-x}}dx01xe1xdx=[xe1x]1<em>0</em>01e1xdx
    ∫01xe1−xdx=−1−[e1−x]1<em>0=−1−1+e=−2+e\int_{0}^{1}{xe^{1-x}}dx=-1-[e^{1-x}]^{1}<em>{0}=-1-1+e=-2+e01xe1xdx=1[e1x]1<em>0=11+e=2+e
    Et pour I2 :
    i</em>2=∫01x2e1−xdxi</em>{2}=\int_{0}^{1}{x^{2}e^{1-x}}dxi</em>2=01x2e1xdx
    ∫01x2e1−xdx=[−x2e1−x]1<em>0−∫</em>01−2xe1−xdx\int_{0}^{1}{x^{2}e^{1-x}}dx=[-x^{2}e^{1-x}]^{1}<em>{0}-\int</em>{0}^{1}{-2xe^{1-x}}dx01x2e1xdx=[x2e1x]1<em>0</em>012xe1xdx
    ∫01x2e1−xdx=−1+2∫01xe1−xdx=−1+2i1\int_{0}^{1}{x^{2}e^{1-x}}dx=-1+2\int_{0}^{1}{xe^{1-x}}dx=-1+2i_{1}01x2e1xdx=1+201xe1xdx=1+2i1
    ∫01x2e1−xdx=−1+2(−2+e)=−5+2e\int_{0}^{1}{x^{2}e^{1-x}}dx=-1+2(-2+e)=-5+2e01x2e1xdx=1+2(2+e)=5+2e


  • M

    Ça me paraît juste.
    Pour le 2)b) : ne s'agit-il pas d'une aire ?
    I2 = ∫$$_0$^1$ f(x) dx


  • N

    Ah oui, je n'avais pas fait le lien.
    Et pour le 2)c)? 😕


  • M

    Comme le 2)a) : une intégration par parties .
    Regarde ce que tu as déjà fait : tu as exprimé I2 en fonction de I1 que tu avais calculé auparavant.


  • N

    Haaa, oui. Tout s'éclaire !! Merci beaucoup. 😁


  • M

    De rien.
    Est-ce qu'on te demande d'exprimer In en fonction de n ?


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