DM Les flocons de Von Koch

Bonjour,
Pour mercredi j'ai un DM sur les Flocons de Von koch, j'ai reussi a faire le debut mais arrivé a la 4-a je bloque...

Sujet :

Le flocon F1 est un triangle équilatéral de côté 1. Pour passer d’un flocon Fn au suivant, on partage chaque segment du pourtour de Fn en trois segments égaux et on substitue au segment central deux segments égaux formant avec le segment supprimé un tiangle équilatéral tourné vers l’extérieur. Les quatre premiers flocons sont construits ci-contre :

On note respectivement cn, , pn et an, le nombre de côtés, la longueur d’un côté, le périmètre et l’aire du flocon Fn.

Calcul de cn

Montrer que la suite (cn) est définie par : c1=3 et cn+1=4cn
En déduire une expression de cn en fonction de n

Calcul de ln

Exprimer ln en fonction de n.

Calcul de pn

a) Déduire des questions précédentes que la suite (pn) est géométrique et préciser sa raison.
b) Préciser la monotonie de la suite (pn).
c)En déduire qu’il existe un rang n0 tel que, pour tout n≥n0, pn≥10∧12.

Calcul de an

a) Calculer a1.
b) En remarquant que l’on construit Fn + 1 en « ajoutant » sur chaque côté de Fn un triangle équilatéral de côté ln+1, établir l’égalité : an+1 = an+(3√3/16)*(4/9)∧n.
c) En déduire l’égalité : an =(√3/16)+3√3/16[1+4/9+(4/9)²+ … + (4/9)n-1], pour tout n 1.
d)Montrer que la suite (an) est majorée par 2/5 √3

Voila, est ce que vous pourriez m'aider a partir de la 4-a s'il vous plait? Merci..

Bonjour,

Piste pour 4)a)

Tu cherches l'aire d'un triangle équilatéral de côte 1

Soit ABC ce triangle et (AH) la hauteur issue de A

H est le milieu de [BC]

$a1=aire(abc)=bc×ah2a_1=aire(abc)=\frac{bc\times ah}{2}$

BC=1

Pour calculer AH , tu peux utiliser le théorème de pythagore dans le traingle ABH

AB²=AH²+BH²

Tu dois trouver , après calculs $ah=32ah=\frac{\sqrt 3}{2}$

En final : $a1=34a_1=\frac{\sqrt 3}{4}$

Si besoin , tu peux regarder ici :

http://mhab.over-blog.com/article-aire-du-flocon-de-von-koch-77677331.html

Bonjour Mtschoon,

J'ai suivie toute tes instructions et j'ai trouver bon. Merci

Mais j'ai un probleme pour le b)

Cette fois ci les cotés ne font plus 1 mais ln+1, meme en tournant la question dans tous les sens je ne vois pas comment faire...

Si tu pouvais m'aider, s'il te plait..

Pour la 4)b) , il faudras que tu utilises les résultats trouvés à $c_{n }$ et à $l_n$

Principe : l'aire d'un triangle équilatéral de côté a est $34a2\frac{\sqrt 3}{4}a^2$

Pour passer de $a_n$ à $a_{n+1}$ , à $a_n$ tu dois ajouter l'aire des petits triangles équatéraux supplémentaires (compte combien il y en a et calcule l'aire de chacun ) .

Donc si j'ai bien compris, apres la formule √3/4×a²
je fait (ln+1)²= (1/3n)² puis ln+1= (1/3n)² × √3/4
donc an+1= an+cn×(1/3n)²×√3/4
→ an+1= an+3×(4n-1)×(1/3n)²×√3/4)
→an+1=an+3/4×4n×(1/3²)n×√3/4
→an+1=an+3√3/16×(4/9)n

C'est bon non?

Il y a peut-être quelques fautes de frappe , mais la démarche est juste.