Z[i] et Z[j] ne sont pas isomorphes

Bonjour à tous.
IL faut démontrer qu'il n'existe pas d'isomorphisme d'anneaux entre Z[i] et Z[j].
Bonne chance.

c koi Z(i) et Z(j) mathtous

Bonjour Leonel
Si possible, utilise le français pour t'exprimer
Citation
c koi Z(i) et Z(j) mathtousOn peut dire, par exemple, "Que sont Z[i] et Z[j], Mathtous ?"

i est une des racines carrées de -1 dans C (ensemble des complexes).
j est la racine cubique de 1 d'argument 2π/3 : j = (-1+i√3)/2

Z[i] est l'anneau (ce n'est pas un corps) des entiers de Gauss, constitué des éléments de la forme a+ib où a et b sont des entiers relatifs.
De même, Z[j] est l'anneau des entiers d'Eisenstein, constitué des éléments de la forma a+jb où a et b sont des entiers relatifs.

Plus personne ?

Bonsoir Mathous.

On peut chercher combien 1 a de racines cubiques.

Bonjour Ostap_Bender,
Dans Z[j], 1 a évidemment 3 racines cubiques. Dans Z[i], il n'en a qu'une.
Mais en quoi cela contredit-il qu'ils puissent être isomorphes ?

Tu appelles a,b et c les images de 1, j et -1-j par l'isomorphisme f.
tu as $a^3 = b^3 = c^3 = f(1) = 1$ .

Donc, a=b=c (=1) : f n'est pas bijectif.
Mais en fait, on peut faire mieux et démontrer qu'il n'existe aucun morphisme (iso ou pas) d'un anneau sur l'autre.

Bon dans un sens, avec les notations précédentes :
$f (j) = 1 = f (- 1 - j) = f (- 1) - f (j) = - 1 - 1$ .

Faut que je fasse l'autre sens avec $−1\sqrt{-1}$ ?

Pas besoin, mais dans cet autre sens, il me semble qu'on obtenait plus simplement la réponse.
Supposant qu'il existe un morphisme (non nul !) g de Z[i] dans Z[j] :
Z[j] étant intègre : g(1) = 1, et par suite g(-1) = -1.
On calcule g(i) :
[g(i)]² = g(i²) = g(-1) = -1
Donc ou bien g(i) = i , ou bien g(i) = -i
Or , ni i ni -i n'appartiennent à Z[j], d'où la contradiction.