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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
Fin 

Aire maximale d'un rectangle, fonction

- classé dans : Fonctions (généralités)

Envoyé: 25.02.2012, 16:40

Constellation


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Bonjour cette exercice me pose problème à partir de la qestion n°3, je n'arrive pas à démontrer..

Exercice:

ABC est un triangle rectangle en A. On donne AB = 4 cm et
AC = 8 cm.
M est un point du segment [AB] ; les points N et P
appartiennent respectivement aux segments [BC] et [AC] de
façon que AMNP soit un rectangle.

Problèmes : Pour quelle position du point M l'aire du
rectangle est-elle égale à 6 cm² et pour quelle position du point M l'aire du rectangle est-elle
maximale ?

1. Dans cette question on pose AM = 1 cm.
Faire une figure et calculer l'aire du rectangle AMNP.
Dans le suite, le point M est un point quelconque du segment [AB]. On pose AM = x.

2. Quelles sont les valeurs possibles de x ?

3. Démontrer que MN = 2(4 – x) (utiliser le théorème de Thalès)

4. Démontrer que l'aire f(x) du rectangle AMNP est donnée par f(x) =8 x – 2 x2

5. Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, tracer la courbe représentative de la fonction f.

6. a. Résoudre graphiquement f(x)=6 .
b. Déterminer la position du point M pour que l'aire du rectangle AMNP soit maximale.
Quelle est la valeur de ce maximum ?
7. a. Montrer f(x)– 6=2(x – 3)(x – 1)
b. En déduire, par le calcul, les solutions de f(x)=6 .
8. a. Montrer que f(x)= –2(x –2)²8
b. Calculer f (2) .
c. Démontrer que f(x)≤8 . (considérer le signe de (x – 2) puis de – 2(x – 2) et conclure)
d. Quel résultat vient d'être démontré ?

9. Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; 4]

modifié par : Noemi, 25 Fév 2012 - 17:01
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Envoyé: 25.02.2012, 16:52

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Bonjour Meloou,

La question 3 correspond à Thalès,
Ecris la propriété et les rapports
MN/AC = ....
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Envoyé: 25.02.2012, 17:21

Constellation


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Les points B,M,A d'une part et les points A,P,C d'autre part sont alignés dans le même ordre.
Calculons séparément:
BM/BA=3/4
AP/AC=6/8=3/4

On constate que BM/BA=AP/AC donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AP) sont parallèles



Comme sa ?
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Envoyé: 25.02.2012, 17:33

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C'est un rectangle donc .....

MN/AC = BM/BA
....
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Envoyé: 25.02.2012, 17:47

Constellation


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MN/AC = BM/BA

D'où 3/4 = 3/4

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Envoyé: 25.02.2012, 17:58

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Non

MN est inconnue est AC = 8
Soit MN/AC = MN/8
BM/MA = 4-x/4
soit MN/8 = ......
Puis
MN = ....
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Envoyé: 25.02.2012, 18:01

Constellation


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Soit MN = 8-x/8
Puis
MN=2(4-x)
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Envoyé: 25.02.2012, 18:03

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MN = 8(4-x)/4
MN = 2(4-x)
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Envoyé: 25.02.2012, 18:11

Constellation


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A d'accord merci.

Pour la question 4, il faut s'aider de la question 3 ?
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Envoyé: 25.02.2012, 18:13

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Oui,

Aire du rectangle MN x AM = ....
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Envoyé: 25.02.2012, 18:18

Constellation


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MN x AM = 2(4-x) x 1
= (8-2x) x 1

Je trouve pas de carré..
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Envoyé: 25.02.2012, 18:24

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AM = x !
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Envoyé: 25.02.2012, 18:26

Constellation


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A oui pardon j'étais encore dans AM = 1 cm
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