Suite - château d'allumettes


  • P

    Bonjour,

    Pouvez vous m'aider à résoudre cette énigme:

    On construit des « châteaux d'allumettes »:

    ../\
    .//\
    ///\

    1étage: 2 allumettes
    2étages: 6 allumettes
    3étages: 12 allumettes

    Le but est de trouver combien d'allumettes sont nécessaires pour construire un château connaissant le nombre d'étages.

    Soit n un entier quelconque supérieur ou égal à 1.
    A l'étape n (n étages), calculer en fonction de n le nombre d'allumettes nécessaires à la réalisation du château.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Explique un peu.

    Avec le schéma que tu donnes , on comprend mal ce qui est écrit.

    Avec le schéma , on pourrait croire qu'il y a 2 allumettes , puis 4 , puis 6
    Tu écris 2 allumettes , puis 6 , puis 12

    Ce n'est pas clair.


  • mtschoon

    Piste dans le cas où ce serait le schéma qui serait exact:

    1er étage: 2 allumettes
    2eme étage: 4 allumettes
    3eme étage: 6 allumettes
    4eme étage: 8 allumettes
    ...
    Au niemen^{ieme}nieme étage : 2n allumettes

    On passe d'un étage à l'autre en ajoutant 2 : suite arithmétique de premier terme 2 et de raison 2

    Pour le nombre d'allumettes necessaires , utilise la formule de la somme ( voir cours )


  • P

    Mais on résonne pas en nombre d'allumettes par étages mais en nombre total d'allumettes.


  • mtschoon

    Je comprends avec ce que tu viens d'écrire à quoi correspondent les valeurs que tu as indiqué , mais ce n'est pas la bonne méthode.

    Il faut que tu analyses combien il y a d'allumettes par étages : tu as ainsi une suite , qui est ici arithmétique .

    1er étage : U1=2
    2eme étage : U2=4
    3eme étage : U3=6
    4eme étage : U4=8
    etc

    (Un) est une suite arithmétique de premier terme U1=2 et de raison r=2

    Tu appliques ton cours sur les suites arithmétiques : c'est le but de l'exercice

    Si tu veux calculer le nombre d'alumettes à l'étage n:

    un=u1+(n−1)r=2+(n−1)2=2nu_n=u_1+(n-1)r=2+(n-1)2=2nun=u1+(n1)r=2+(n1)2=2n ( voir cours )

    Si tu veux calculer le nombre S d'allumettes necessaire à construire le n premiers étages

    $\text{s=nombres de termes \times \frac{u_1+u_n}{2}=n \times \frac{u_1+u_n}{2}$

    (Après calcul , tu dois trouver n(n+1) )


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