Dérivée de type u/v

Bonjour,

Je dois calculer la dérivée de la fonction $(2x−1)3(2x+1)\frac{\sqrt{(2x-1)^3}}{\sqrt{(2x+1)}}$
Pour tenter de répondre à la question j'utilise la formule : $\frac{u}{v}\Rightarrow \frac{u'v-uv'}{v^2} \$
Suis-je dans le vrai ?
J'ai continué l'exercice en posant que : $(2x−1)3(2x+1)=(2x−1)3/2(2x+1)1/2\frac{\sqrt{(2x-1)^3}}{\sqrt{(2x+1)}} = \frac{(2x-1)^{3/2}}{(2x+1)^{1/2}}$
J'ai donc calculer u' et v' à partir de la formule : $u^n=n u' u^^{n-1}$

D'où :
$u=(2x-1)^{3/2}$ et $u′=3(2x−1)u'=3\sqrt{(2x-1)}$
$v=(2x+1)^{1/2}$ et $v′=1(2x+1)v'=\frac{1}{\sqrt{(2x+1)}}$

Je tente d'appliquer la formule énoncée au point 2 mais je me retrouve avec une dérivée particulièrement "longue". Je me demande donc si j'utilise la bonne méthode.

Quelqu'un pourrait-il me dire si la méthode que j'utilise est la bonne ?

Merci

Bonjour,
Ta méthode est bonne.
C'est calculatoire, tant pis.
Attention : précise pour quelles valeurs de x tu peux effectuer les calculs.

mathtous
Bonjour,
Ta méthode est bonne.
C'est calculatoire, tant pis.
Attention : précise pour quelles valeurs de x tu peux effectuer les calculs.

Bonjour,
Merci pour votre réponse.

Je suis en train de déterminer les valeurs de x. Cependant lorsque je détermine le domaine de définition, je rencontre un problème.

Je cherche les réels (que je devrai exclure) pour lesquels le dénominateur est nul (1) et le contenu de la racine carré est négatif (2).

(1) $\rightarrow x=-\frac{1}{2}$ donc -1/2 devra être exclu

(2) C'est là où j'ai un soucis dans mon tableau de signe.
$\begin{matrix} \ x &&&-\propto &&&-\frac{1}{2}&&& 0 &&&\frac{1}{2}&&&+\propto &&& \ \ (2x-1)^3 &&& - &&& | &&& | &&&0&&&+ &&& \ \ (2x+1)&&&- &&&0&&& | &&&|&&&+ &&& \ \ \frac{(2x-1)^3}{(2x+1)} &&&+ &&& N.D &&& | &&&0&&&+ &&& \ \ \end{matrix}$

Si j'en crois mon tableau de signe le domaine de définition est : $Df=]−∝;−12[U[12;+∝[Df=]-\propto ;-\frac{1}{2}[ U [\frac{1}{2};+\propto[$

Hors je pense que cette interprétation n'est pas la bonne car si je trace la courbe avec ma calculette le domaine de définition est plutôt $Df=]12;+∝[Df=]\frac{1}{2};+\propto[$

Quelqu'un peut-il m'aider dans l'interprétation du tableau de signe. Peut-être que ce tableau n'est pas bon mais je ne vois pas où est l'erreur. Au début j'ai pensé que la puissance de 3 dans le numérateur me posait problème mais j'ai l'impression que non...Je suis parti du fait que - x - x - = -

Là se situe peut-être l'erreur...
Merci pour votre aide.

Apparement le domaine de définition $Df=]−∝;−12[U[12;+∝[Df=]-\propto ;-\frac{1}{2}[ U [\frac{1}{2};+\propto[$ est le bon (Enfin je pense).

L'erreur provenait d'une erreur de manipulation de la calculette. Je n'avais pas assez de recul sur l'écran par rapport au repère orthonormé.

Non : ton interprétation ne convient pas.
Tu fais comme si tu cherchais le signe du quotient.
Mais ce n'est pas cela : tu dois avoir :
2x - 1 ≥ 0 donc x ≥ 1/2

Ainsi que 2x + 1 > 0 donc x > -1/2 ( strictement cette fois).

Attention : si la première inégalité est vérifiée, la seconde l'est automatiquement.
Donc le résultat final est x ≥ 1/2.
Le domaine de définition est [ 1/2 ; +∞[

mathtous
Non : ton interprétation ne convient pas.
Tu fais comme si tu cherchais le signe du quotient.
Mais ce n'est pas cela : tu dois avoir :
2x - 1 ≥ 0 donc x ≥ 1/2

Ainsi que 2x + 1 > 0 donc x > -1/2 ( strictement cette fois).

Attention : si la première inégalité est vérifiée, la seconde l'est automatiquement.
Donc le résultat final est x ≥ 1/2.
Le domaine de définition est [ 1/2 ; +∞[

Merci pour votre réponse.
J'ai utilisé le http://www.mathe-fa.de/fr#result site avec la formule (sqrt(2x-1)^3)/(sqrt(2x+1)) et en effet la courbe correspond au domaine de définition que vous avez énoncé.

En revanche dans un des cours il y a un exemple où il est demandait de trouver l'ensemble de définition. Il s'agit du même type de fonction racine(f(x)/g(x)). Dans cet exemple il faut chercher la valeur pour que le dénominateur soit nul et les valeurs pour que la racine soit négatif (afin de les exclure) et le prof utilise un tableau de signe pour répondre à la question : racine(f(x)/g(x)) < 0

Merci

Citation
racine(f(x)/g(x)) < 0Racine carrée ?
Dans R, une racine carrée ne peur pas être négative.
Tu veux peut-être dire que le professeur souhaite résoudre l'inéquation f(x)/g(x) < 0 ?
Dans ce cas, il faut bien faire un tableau de signes, mais après avoir cherché indépendamment le domaine de définition.

mathtous
Citation
racine(f(x)/g(x)) < 0Racine carrée ?
Dans R, une racine carrée ne peur pas être négative.
Tu veux peut-être dire que le professeur souhaite résoudre l'inéquation f(x)/g(x) < 0 ?
Dans ce cas, il faut bien faire un tableau de signes, mais après avoir cherché indépendamment le domaine de définition.

Oui en effet j'ai oublié de retirer la racine carré. En effet le professeur souhaite résoudre l'inéquation f(x)/g(x) < 0

Je ne comprend pas bien votre derniere phrase ....mais après avoir cherché indépendamment le domaine de définition.

Voulez-vous dire que je dois d'abord chercher le domaine definition de $(2x−1)3\sqrt{(2x-1)^3}$ puis ensuite $(2x+1)\sqrt{(2x+1)}$ ?

... suite du message précédent.
A moins que le quotient f(x)/g(x) soit tout entier sous une racine carrée ?
Auquel cas il doit être positif, d'où l'étude de son signe.
Mais ce n'est pas c e que tu as ici : tu as un quotient de racines et non pas une racine d'un quotient.

Attention : messages croisés : lis plus haut.
J'ai voulu dire que l'on doit chercher le domaine avant tout autre chose.
Si on a (√f'x))/(√g(x)), ce qui est ton cas, on doit avoir à la fois f(x) ≥ 0 et g(x) > 0.
Si par contre on a √(f(x)/g(x)), il faut un tableau de signes pour savoir quand f(x)/g(x) est positif ( et g(x) non nul ).

Merci pour votre réponse.
Lorsque j'ai présenté l'exercice j'ai voulu "simplifier" la fonction. En fait dans l'énoncé, la fonction est écrite comme cela :

$(2x−1)3(2x+1)\sqrt{\frac{(2x-1)^3}{(2x+1)}}$ et non $(2x−1)3(2x+1)\frac{\sqrt{(2x-1)^3}}{\sqrt{(2x+1)}}$

Je ne pensais pas que cela avait un impact dans la recherche de définition :

Citation
Si on a (√f'x))/(√g(x)), ce qui est ton cas, on doit avoir à la fois f(x) ≥ 0 et g(x) > 0.
Si par contre on a √(f(x)/g(x)), il faut un tableau de signes pour savoir quand f(x)/g(x) est positif ( et g(x) non nul ).

Je ne comprends pas la nuance entre les deux. Lorsque j'ai "simplifié" la fonction j'ai utilisé la propriété suivante : $xy=xy\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ .

Quelle fonction "donnée" ?
Ce n'était donc pas $(2x−1)3(2x+1)\frac{\sqrt{(2x-1)^3}}{\sqrt{(2x+1)}}$ ?

Attention : $xy=xy\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ est vrai seulement si x et y sont tous deux positifs (y non nul).

Car $xy\sqrt{\frac{x}{y}}$ peut s'écrire lorsque $xy\frac{x}{y}$ est positif, c'est-à-dire lorsque x et y sont tous deux positifs ou lorsque x et y sont tous deux négatifs.
Alors que $xy\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ ne peut s'écrire que si x et y sont tous deux positifs. Est-ce là la "nuance" qui t'échappait ?

Si comme tu le dis maintenant la fonction donnée est $(2x−1)3(2x+1)\sqrt{\frac{(2x-1)^3}{(2x+1)}}$ , alors il faut effectivement commencer par chercher le signe du quotient $(2x−1)3(2x+1)\frac{(2x-1)^3}{(2x+1)}$ .
Mais tu aurais dû le dire avant.

mathtous
Quelle fonction "donnée" ?
Ce n'était donc pas $(2x−1)3(2x+1)\frac{\sqrt{(2x-1)^3}}{\sqrt{(2x+1)}}$ ?

Attention : $xy=xy\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ est vrai seulement si x et y sont tous deux positifs (y non nul).

Car $xy\sqrt{\frac{x}{y}}$ peut s'écrire lorsque $xy\frac{x}{y}$ est positif, c'est-à-dire lorsque x et y sont tous deux positifs ou lorsque x et y sont tous deux négatifs.
Alors que $xy\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ ne peut s'écrire que si x et y sont tous deux positifs. Est-ce là la "nuance" qui t'échappait ?

Si comme tu le dis maintenant la fonction donnée est $(2x−1)3(2x+1)\sqrt{\frac{(2x-1)^3}{(2x+1)}}$ , alors il faut effectivement commencer par chercher le signe du quotient $(2x−1)3(2x+1)\frac{(2x-1)^3}{(2x+1)}$ .
Mais tu aurais dû le dire avant.

Oui, cela impacte le calcul car tu n'as plus le même domaine de définition.
Ton domaine est ]-∞ ; -1/2[ ∪ [1/2 ; +∞[
Tu as le choix :

Tu remplaces $ab\sqrt{\frac{a}{b}}$ par $ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ là où a et b sont tous positifs, c'est-à-dire dans [1/2 ; +∞[ , puis tu dérives.
Tu remplaces ensuite $ab\sqrt{\frac{a}{b}}$ par $−a−b\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$ là où a et b sont négatifs, c'est-à-dire dans ]-∞ ; -1/2[, puis tu dérives.
Tu obtiens deux formules légèrement différentes.

ou bien

Tu dérives directement $ab\sqrt{\frac{a}{b}}$ ( dérivée de $\sqrt{q(x)} = \frac{q'(x)}{2\sqrt{q(x)}$ ).
Tu obtiens une seule formule, mais qu'il faut si possible simplifier.
Pour cela, tu dois récrire différemment le dénominateur $q(x)\sqrt{q(x)}$ selon que x est dans l'un ou l'autre des deux intervalles.
A la fin du compte, tu dois retrouver pour chacun des deux intervalles les mêmes résultats qu'avec l'autre méthode.

mathtous
Oui, cela impacte le calcul car tu n'as plus le même domaine de définition.
Ton domaine est ]-∞ ; -1/2[ ∪ [1/2 ; +∞[
Tu as le choix :

Tu remplaces $ab\sqrt{\frac{a}{b}}$ par $ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ là où a et b sont tous positifs, c'est-à-dire dans [1/2 ; +∞[ , puis tu dérives.
Tu remplaces ensuite $ab\sqrt{\frac{a}{b}}$ par $−a−b\frac{\sqrt{-a}}{\sqrt{-b}}$ là où a et b sont négatifs, c'est-à-dire dans ]-∞ ; -1/2[, puis tu dérives.
Tu obtiens deux formules légèrement différentes.

ou bien

Tu dérives directement $ab\sqrt{\frac{a}{b}}$ ( dérivée de $\sqrt{q(x)} = \frac{q'(x)}{2\sqrt{q(x)}$ ).
Tu obtiens une seule formule, mais qu'il faut si possible simplifier.
Pour cela, tu dois récrire différemment le dénominateur $q(x)\sqrt{q(x)}$ selon que x est dans l'un ou l'autre des deux intervalles.
A la fin du compte, tu dois retrouver pour chacun des deux intervalles les mêmes résultats qu'avec l'autre méthode.

Tu peux écrire :
$f(x)=(2x−1)32x+1=sqrt(2x−1)32x+1=(2x−1)3/2(2x+1)1/2f(x)=\sqrt{\frac{(2x-1)^3}{2x+1}} = \frac{sqrt{(2x-1)^3}}{\sqrt{2x+1}}=\frac{(2x-1)^{3/2}}{(2x+1)^{1/2}}$ si $\in [\frac{1}{2} ; +\infty[$
$f(x)=(2x−1)32x+1=sqrt(−2x+1)3−2x−1=(−2x+1)3/2(−2x−1)1/2f(x)=\sqrt{\frac{(2x-1)^3}{2x+1}} = \frac{sqrt{(-2x+1)^3}}{\sqrt{-2x-1}}=\frac{(-2x+1)^{3/2}}{(-2x-1)^{1/2}}$ si $\in]-\infty ; -\frac{1}{2}[$
Et tu dérives séparément dans chaque intervalle.

mathtous
Tu peux écrire :
$f(x)=(2x−1)32x+1=sqrt(2x−1)32x+1=(2x−1)3/2(2x+1)1/2f(x)=\sqrt{\frac{(2x-1)^3}{2x+1}} = \frac{sqrt{(2x-1)^3}}{\sqrt{2x+1}}=\frac{(2x-1)^{3/2}}{(2x+1)^{1/2}}$ si $\in [\frac{1}{2} ; +\infty[$
$f(x)=(2x−1)32x+1=sqrt(−2x+1)3−2x−1=(−2x+1)3/2(−2x−1)1/2f(x)=\sqrt{\frac{(2x-1)^3}{2x+1}} = \frac{sqrt{(-2x+1)^3}}{\sqrt{-2x-1}}=\frac{(-2x+1)^{3/2}}{(-2x-1)^{1/2}}$ si $\in]-\infty ; -\frac{1}{2}[$
Et tu dérives séparément dans chaque intervalle.

Merci

Attention : dans ton premier post, il me semble que ton u' était faux : vérifie.

Non, non, excuse : il est juste.