Montrer que deux suites sont adjacentes


  • M

    Bonjour,

    Les suites Un et Vn sont définies par U0U_0U0= -1 et V0V_0V0= 2 et pour tout entier n : Un+1U_{n+1}Un+1= (Un+Vn)/2 et Vn+1V_{n+1}Vn+1= (Un+4Vn)/5
    1)a) démontrez par récurrence que pour tout n, Un<Vn
    B) démontrer que les suites Un et Vn sont adjacentes
    2) soit Tn= 2Un+ 5Vn
    Démontrez que Tn est constante et en déduire la limite de U

    Je suis bloquée à partir de la 1b), pouvez-vous m'aider à faire la suite de cet exercice s'il vous plait ?
    Cordialement


  • mtschoon

    Bonjour,

    Relis l'énoncé écrit. Des codes n'ont pas dû passer , car on ne sait pas ce que tu as démontré au 1)a) ? c'est peut-être utile...


  • M

    Pour la 1a) j'ai fait dans l'etape de l'heredite : Un+1U_{n+1}Un+1 - Vn+1V_{n+1}Vn+1. J'ai trouvé un résultat égale à (3Un - 3Vn)/10, j'en ai déduis que ce résultat est < 0 donc que Un est inferieur à Vn
    (il n'y a aucune erreur dans l'enoncé)


  • mtschoon

    Le signe < a du poser un problème ( c'est fréquent )

    Il y a écrit :
    Citation
    démontrez par récurrence que pour tout n, Un

    Si tu pouvais le ré-écrire...désolée...


  • M

    Il faut démontrer que Un est inférieur à Vn. Désolée je n'avais pas remarqué


  • mtschoon

    Donc , au 1)b) , pour démonter que les suites sont adjacentes , par définition , il faut que tu montres 3 choses :

    (Un) croissante

    (Vn) décroissante

    lim⁡n→+∞(un−vn)=0\lim_{n\to +\infty}(u_n-v_n)=0limn+(unvn)=0

    Je te fais la première : (Un) croissante.

    un+1−un=un+vn2−un=vn−un2u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+v_n}{2}-u_n=\frac{v_n-u_n}{2}un+1un=2un+vnun=2vnun

    D'après la question 1)a) vn−un>0v_n-u_n \gt 0vnun>0donc un+1−un>0u_{n+1}-u_n \gt 0un+1un>0 donc :

    (Un) croissante.

    Tu continues.


  • M

    Merci. Vn+1V_{n+1}Vn+1 - Vn = (Un+ 4Vn )/5 - Vn = (Un-Vn)/5
    Vn > Un donc Vn+1V_{n+1}Vn+1 > Un+1U_{n+1}Un+1 et puisque Un est croissante, Vn est croissante


  • mtschoon

    Tu calcul est bon mais ta conclusion ne l'est pas .

    Relis la démarche que je t'ai suggérée pour le sens de variation de (Un) et raisonne de la même façon.


  • M

    Vn-Un > 0 donc Vn+1 -Vn > 0 donc la suite Vn est croissante


  • mtschoon

    Fais attention !

    Tu as trouvé que :vn+1−vn=un−vn5v_{n+1}-v_n=\frac{u_n-v_n}{5}vn+1vn=5unvn

    C'est donc le signe de Un-Vn qui faut utiliser .


  • M

    Un - Vn < 0 ? Mais dans ce cas, Vn est décroissante ?


  • mtschoon

    Oui et c'est ce que je t'avais indiqué précédemment ( revois la définition de suites adjacentes )


  • M

    D'accord Merci


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