Nous avons un devoir maison a faire en maths, depuis une semaine on est dessus, il nous manque que quelques question, si vous pouvez m'aider.
Nous avons :
a0=2
an+1=1
Partie A : suite (an)
On considère la fonction f définie sur ]0;+[ par f(x)=1+1/x
1) Representer graphiquement sur ]1;2[ on l'a fait
avec le placement des 4 premiers termes aussi.
2) Demontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, an>1
on la aussi trouvé.
3)a) Montrer que ℘^2= + 1 puis en déduire la valeur exacte de
Cette question on la aussi, on trouve le comme solution le nombre d'or. mais celles d'après nous pose un gros problème.
b) Prouver que pour tout n entier naturel : │an+1-℘│≤ 1/℘│ an-℘│
c) En déduire par un raisonnement par récurrence que, pour tout n 0, │ an-│≤ (1/)^n
4) Quelle est la limite de (an)? (La on sait pas, il nous faudrait an pour calculer la limite et comment trouver an... ?)
Bonjour
Ton énoncé est bizarre.
Vérifie : an+1 = 1 + 1/an ?
Et que désigne ℘ ?
Mathtous
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Ton énoncé est incomplet.
Mais c'est bien an+1 = 1 + 1/an
Maintenant, tu parles de alpha. Mais tu ne l'as pas défini.
Tu écris également
On ne peut pas t'aider sans un énoncé correct.
Mathtous
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la lettre que j'ai mise c'est pour alpha, car il n'y est pas dans les caractère du site.
Alpha est est un réel strictement positifi tel que f(alpha)=alpha
Nous avons un devoir maison a faire en maths, depuis une semaine on est dessus, il nous manque que quelques question, si vous pouvez m'aider.
Nous avons :
a0=2
an+1=1+1/an
Partie A : suite (an)
On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=1+1/x
1) Representer graphiquement sur ]1;2[ on l'a fait
avec le placement des 4 premiers termes aussi.
2) Demontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, an>1
on la aussi trouvée.
3)a) Montrer que alpha^2=alpha + 1 puis en déduire la valeur exacte de
Cette question on la aussi, on trouve comme solution le nombre d'or. mais celles d'après nous pose un gros problème.
b) Prouver que pour tout n entier naturel : │an+1-alpha│≤ 1/alpha│ an-alpha│
c) En déduire par un raisonnement par récurrence que, pour tout n ≥0, │an-alpha│≤ (1/alpha)^n
4) Quelle est la limite de (an)? (La on sait pas, il nous faudrait an pour calculer la limite et comment trouver an... ?)
En bas, juste au-dessus des smileys, tu as "lettres grecques".
modifié par : mathtous, 04 Fév 2012 - 14:14
Mathtous
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Mathtous
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Si f(α) = α , c'est bien que α est la solution de f(x) = x.
As-tu prouvé que α²=α+1 ?
Mathtous
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C'est donc la 3)b) qui te gêne ?
Calcule an+1 - α en remplaçant an+1 par 1 + 1/an
Mathtous
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Tu n'as plus qu'à prendre les valeurs absolues : tu as ton inégalité.
Mathtous
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│an+1-α│= |an - α |/an*α
Mais an > 1 ( prouvé avant) , donc ...
modifié par : mathtous, 04 Fév 2012 - 15:09
Mathtous
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an > 1 donc 1/an < 1 donc 1/(an*α) < 1/α
Par suite, │an+1-α│= |an - α |/an*α < |an - α |/α
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Oui, mais c'est sans importance pour les valeurs absolues.
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Tu peux tenter une démonstration par récurrence sur n.
Mathtous
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La récurrence porte sur l'entier n.
Pour n=0 est-ce vrai ?
Puis tu passes à l'hérédité : si la propriété est vraie pour n l'est-elle pour n+1 ?
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On suppose que l'inégalité est vraie au rang n :
|an - α| ≤ (1/α)^n
On va démontrer que c'est vrai au rang n+1 :
Pour cela, utilise l'inégalité du 3)b)
|an+1 - α| ≤ (1/α) |an -α|
Mathtous
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Je vois ce qu'il faut faire a peut près mais je vois pas ou est passée la puissance n, meme si c'est pas du tout la meme formule, j'arrive pas trop a faire le lien entre les deux.
On sait que toute a l'heure on a prouvé que |an+1 - α| ≤ (1/α) |an -α|
mais comment en déduire l'expression avec an, enfin comment apparait la puissance n ?
Au rang n : |an - α| ≤ (1/α)^n c'est l'hypothèse de récurrence : on suppose que cela est vrai.
Au rang n+1, on doit donc démontrer que |an+1 -α| ≤ (1/α)^(n+1)
Pour cela, on utilise le résultat du 3)b) qui relie |an+1 -α| avec |an - α|
Mathtous
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Pour l'hérédité, on suppose que |an - α| ≤ (1/α)^n
On sait que |an+1 - α| ≤ (1/α) |an -α|
Or , |an - α| ≤ (1/α)^n
Donc |an+1 - α| ≤ (1/α) * (1/α)^n
|an+1 - α | ≤ (1/α)^(n+1)
Mathtous
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Je ne vois pas ce que tu veux dire.
lorsque n tend vers l'infini, quelle est la limite de (1/α)^n ?
Mathtous
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Non : c'est |an - α | qui tend vers 0. Et donc an tend vers α.
Mathtous
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