Exercice Suite avec nombre d'or

Nous avons un devoir maison a faire en maths, depuis une semaine on est dessus, il nous manque que quelques question, si vous pouvez m'aider.

Nous avons :

a0=2
an+1=1

Partie A : suite (an)

On considère la fonction f définie sur ]0;+[ par f(x)=1+1/x

Representer graphiquement sur ]1;2[ on l'a fait
avec le placement des 4 premiers termes aussi.
Demontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, an>1
on la aussi trouvé.

3)a) Montrer que ℘^2= + 1 puis en déduire la valeur exacte de
Cette question on la aussi, on trouve le comme solution le nombre d'or. mais celles d'après nous pose un gros problème.

b) Prouver que pour tout n entier naturel : │an+1-℘│≤ 1/℘│ an-℘│

c) En déduire par un raisonnement par récurrence que, pour tout n 0, │ an-│≤ (1/)^n

Quelle est la limite de (an)? (La on sait pas, il nous faudrait an pour calculer la limite et comment trouver an... ?)

Merci de votre aide

Bonjour
Ton énoncé est bizarre.
Vérifie : $a_{n+1}$ = 1 + $1/a_n$ ?
Et que désigne ℘ ?

Bonjour

an+1 = 1 + 1/an nous est donné dans l'exercice.

et ℘ dans notre exercice c'est alpha, et c'est un réel (entre autre c'est le nombre d'or)

Ton énoncé est incomplet.
Citation
an+1=1Mais c'est bien $a_{n+1}$ = 1 + $1/a_n$
Maintenant, tu parles de alpha. Mais tu ne l'as pas défini.
Tu écris également
Citation
℘^2= + 1
On ne peut pas t'aider sans un énoncé correct.

Ah non excusez moi le forum ma enlevé des lettres. je vais recommencer

la lettre que j'ai mise c'est pour alpha, car il n'y est pas dans les caractère du site.
Alpha est est un réel strictement positifi tel que f(alpha)=alpha

Nous avons un devoir maison a faire en maths, depuis une semaine on est dessus, il nous manque que quelques question, si vous pouvez m'aider.

Nous avons :

a0=2
an+1=1+1/an

Partie A : suite (an)

On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par f(x)=1+1/x

Representer graphiquement sur ]1;2[ on l'a fait
avec le placement des 4 premiers termes aussi.
Demontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, an>1
on la aussi trouvée.

3)a) Montrer que alpha^2=alpha + 1 puis en déduire la valeur exacte de
Cette question on la aussi, on trouve comme solution le nombre d'or. mais celles d'après nous pose un gros problème.

b) Prouver que pour tout n entier naturel : │an+1-alpha│≤ 1/alpha│ an-alpha│

c) En déduire par un raisonnement par récurrence que, pour tout n ≥0, │an-alpha│≤ (1/alpha)^n

Quelle est la limite de (an)? (La on sait pas, il nous faudrait an pour calculer la limite et comment trouver an... ?)

En bas, juste au-dessus des smileys, tu as "lettres grecques".

α est la solution de f(x) = x dans ]1;2[ ?

On nous le dis pas mais on suppose que oui, on nous demande juste de prouver que α²=α+1 à partir de f(α)=α

Si f(α) = α , c'est bien que α est la solution de f(x) = x.
As-tu prouvé que α²=α+1 ?

Oui ça je l'ai fais je me suis servie de f(α)=α

j'ai remplacé et j'ai résolu α=1+1/α

C'est donc la 3)b) qui te gêne ?
Calcule $a_{n+1}$ - α en remplaçant $a_{n+1}$ par 1 + $1/a_n$

Oui c'est la 3-b)

oui d'accord ça fait (α-an)/(an*α)

Tu n'as plus qu'à prendre les valeurs absolues : tu as ton inégalité.

Je comprends pas en quoi on prouve que │an+1-α│≤ 1/α│ an-α│

si on remplace ça nous donne :│(α-an)/(an*α)│≤ 1/α│ an-α│

│ $a_{n+1}$ -α│= |an - α |/an*α
Mais an > 1 ( prouvé avant) , donc ...

Comment on obtient le coté droit de l'inégalité ?

an > 1 donc 1/an < 1 donc 1/(an*α) < 1/α
Par suite, │ $a_{n+1}$ -α│= | $a_n$ - α | $a_n$ *α < | $a_n$ - α |/α

quand je calcule an+1-α je trouve α-an/anα et non pas an-α/anα c'est normal ?

Oui, mais c'est sans importance pour les valeurs absolues.

D'accord merci beaucoup.

Pourriez vous me mettre sur le chemin pour la suivante aussi s'il vous plait ? Si ça ne vous dérange pas...

Tu peux tenter une démonstration par récurrence sur n.

Que voulez vous dire par "sur n" ?

La récurrence porte sur l'entier n.
Pour n=0 est-ce vrai ?
Puis tu passes à l'hérédité : si la propriété est vraie pour n l'est-elle pour n+1 ?

Merci beaucoup. J'essaye de le faire et je vous dis.

OK, j'attends.

A l'étape de l'hérédité, je ne vois pas comment faire

J'ai réussis a prouver que P0 est vraie

On suppose que l'inégalité est vraie au rang n :
| $a_n$ - α| ≤ (1/α)^n
On va démontrer que c'est vrai au rang n+1 :
Pour cela, utilise l'inégalité du 3)b)
| $a_{n+1}$ - α| ≤ (1/α) | $a_n$ -α|

Je vois ce qu'il faut faire a peut près mais je vois pas ou est passée la puissance n, meme si c'est pas du tout la meme formule, j'arrive pas trop a faire le lien entre les deux.
On sait que toute a l'heure on a prouvé que |an+1 - α| ≤ (1/α) |an -α|
mais comment en déduire l'expression avec an, enfin comment apparait la puissance n ?

Au rang n : |an - α| ≤ (1/α)^n c'est l'hypothèse de récurrence : on suppose que cela est vrai.
Au rang n+1, on doit donc démontrer que | $a_{n+1}$ -α| ≤ (1/α)^(n+1)
Pour cela, on utilise le résultat du 3)b) qui relie | $a_{n+1}$ -α| avec |an - α|

Désolée mais je n'arrive toujours pas à faire le lien. Je ne vois pas comment avec le résultat du 3)b) on peut arriver à |an+1 -α| ≤ (1/α)^(n+1)

Pour l'hérédité, on suppose que |an - α| ≤ (1/α)^n
On sait que | $a_{n+1}$ - α| ≤ (1/α) | $a_n$ -α|
Or , |an - α| ≤ (1/α)^n
Donc | $a_{n+1}$ - α| ≤ (1/α) * (1/α)^n
| $a_{n+1}$ - α | ≤ (1/α)^(n+1)

D'accord merci beaucoup j'ai compris.

Et pour la limite je dois la déduire des deux questions précédentes non ?

Non : la 3)c) suffit.

Faut-il utiliser le théorème de comparaison ?

Je ne vois pas ce que tu veux dire.
lorsque n tend vers l'infini, quelle est la limite de (1/α)^n ?

ah oui la limite c'est 0 donc on en déduit que la suite tend vers 0 en plus l'infini

Non : c'est |an - α | qui tend vers 0. Et donc an tend vers α.

Ah ben oui. Désolée.
Merci beaucoup de votre patience en tout cas.