Suites convergentes

Bonjour, j'ai fait les premières questions de cet exercice :
La suite Un est définie par :
U0=3 et pour tout entier n, Un+1= 2/Un+1

demontrer que pour tout entier n, Un>0
la suite Vn est définie pour tout entier n par : V
n= (Un-1)/(Un+2)
démontrez que Vn est une suite géométrique et précisez sa limite
déduisez en que la suite Un est convergente et trouvez sa limite

Je suis bloquée à la dernière question, pouvez-vous me donner une piste s'il vous plait ? Merci

Bonjour,

Pour la dernière question , tu calcules Un en fonction de Vn

$v_n=\frac{u_n-1}{u_n+2$

Produits en croix :

$v_n(u_n+2)=un-1$

Développements :

$v_nu_n+2v_n=u_n-1$

Tu mets les termes contenant Un dans le membre de gauche

Tu factorises ( le membre de gauche )

Après division , tu dois trouver , sauf erreur :

$un=−1−2vnvn−1u_n=\frac{-1-2v_n}{v_n-1}$

Tu peux changer tous les ignes ( ce qui ne changera pas le signe du quotient ) :

$un=1+2vn−vn+1u_n=\frac{1+2v_n}{-v_n+1}$

Connaissant la congergence et la limite de Vn , tu pourras déduire la convergence et la limite de Un

D'accord merci. J'en déduis que la limite de Un quand n tend vers + infini est 1 ? Pour la convergence, j'ai du mal à comprendre ce que cela represente..

Tout dépend ce que tu as trouvé pour Vn ( je n'ai fait aucun calcul , je n'ai répondu qu'à ta question ).

Si la limite de Vn est 0 , la limite de Un est bien 1.

La convergence PRECEDE la recherche de la valeur de la limite.

Une suite convergente est une suite qui a une limite finie l (lorsque n tend vers +∞)
Après avoir justifié la convergence , on cherche la valeur de l .

Oui j'avais trouvé que la limite de Vn est 0 à la question 2.
Je dois démontrer que Un converge vers 1 ?

C'est un conséquence directe.

Je dis que Un converge vers 1 donc que sa limite quand n tend vers plus l'infini est 1. C'est suffisant ?

C'est à toi de rédiger!

Indique que Vn converge vers 0 donc .................