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Envoyé: 28.01.2012, 10:41
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Voie lactée
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Bonjour, pouvez-vous me donner des pistes pour faire cet exercice s'il vous plaît.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O,u,v)
On désigne par A,B, et C les points d'affixes respectives a=-1+2i, b=1+3i, c=4i
1)a) Démontrer que ABC est un triangle isocèle en A
b) calculer la mesure approchée au centième près par défaut de la mesure principale en radians de l'angle (AB,AC)
2) on appelle I le milier de [BC] et zI son affixe
a) quel est l'ensemble des points M dont l'affixe z vérifie : (z-zI)/ (z-a) est un nombre réel ?
b) déterminer le nombre réel x vérifiant : (x- zI)/(x-a) est un nombre réel.
c) quelle est la forme trigonométrique du nombre complexe affixe du vexteur AI ?
3) On note Ω le point d'affixe -3
a) démontrer que Ω,A, I sont alignés
b)démontrer qu'il existe deux rotations de centre Ω telles que les images de A et I soient sur la droite des réels. Préciser les angles de ces rotations.
c) soit r1 la rotation de centre Ω et de mesure -π/4 . quelle est l'écriture complexe de r1 ?
d) déterminer l'équation complexe du cercle de diamètre [BC] et de son image par la rotation r1
4) Soit A', B', C' les images respectives des points A,B,C par r1
soit a', b', c' leurs affixes respectives
determiner l'image par la rotation r1 de l'axe de symétrie du triangle ABC
En déduite l'égalité b'=c' (barre)
Merci, cordialement.
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Envoyé: 28.01.2012, 11:17
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Bonjour,
Pistes pour démarrer,
1)a)
Tu calcules
1)b)
=arg\(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) "(\vec{AB},\vec{AC})=arg\(\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\)")
Tu calcules.
Tiens nous au courant sur ce que tu as trouvé
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Envoyé: 28.01.2012, 12:01
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Voie lactée
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Merci pour votre réponse.
Pour la 1)a) je trouve AB=| 2+ i | et AC= | 2i + 1 |. N'aurais-je pas plutôt dû trouver deux résultats identiques ?
Pour la 1b) je trouve (AB,AC)= arg [(1+2i)/(2+i)]
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Envoyé: 28.01.2012, 13:14
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C'est tout à fait ça
Il faut que tu calcules |1+i| et |1+2i| et tu trouveras pareil (√5)
De même , pour la suite , il faut que tu mettes (1+2i)/(2+i) sous forme algébrique , pour pouvoir trouver l'argument θ avec les formules cosθ=a/r st sinθ=b/r ( en appelant r le module )
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Envoyé: 28.01.2012, 14:37
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Voie lactée
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D'accord, je trouve bien √5. Par contre après je suis un peu perdue... Je trouve arg (√5/√5) = arg (1) . Je ne vois pas à quoi correspond 1... Est-ce que 1 =θ ou 1= r ?
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Envoyé: 28.01.2012, 15:07
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Non...
Relis ma précédente réponse et ton cours.
(2-i)}{(2+i)(2-i)}=..... "\frac{1+2i}{2+i}=\frac{(1+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=.....")
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Envoyé: 28.01.2012, 15:33
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Voie lactée
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Je trouve que z= -3i+4/4 , r= 5/4 , cosθ = 4/5, sin θ= -3/5 donc θ est environ égale à -∏/6
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Envoyé: 28.01.2012, 15:46
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Non...recompte.
Tu dois trouver , après calculs :
(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{4+3i}{5}=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i "\frac{(1+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{4+3i}{5}=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i")
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Envoyé: 28.01.2012, 15:57
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Voie lactée
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Je finis donc par trouver que θ est légèrement inférieur à ∏/4
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Envoyé: 28.01.2012, 16:08
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On te demande la mesure approchée au centième près par défaut de θ .
Explique comment tu as fait pour trouver "légèrement inférieur à ∏/4"
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Envoyé: 28.01.2012, 16:15
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Pour trouver l'angle j'ai fait : z= (3i + 4)/5 donc r= 1 et cos θ= 4/5 , sin θ= 3/5
j'ai placé 3/5 sur l'axe des ordonnées et 4/5 sur celui des abscisses et je trouve un angle légèrement inférieur à ∏/4. Je ne vois pas d'autre solution pour donner sa valeur au centième près or mis celle de mesurer avec un rapporteur puis de convertir en radian..
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Envoyé: 28.01.2012, 16:31
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Ton idée est bonne : c'est bien cos θ= 4/5 , sin θ= 3/5 , mais pour avoir la précision demandée , il faut prendre ta calculette.
Mais , tout dépend de ce que sait faire ta calculette...
Tu dois avoir la fonction cos-1 qui te donne une mesure d'angle ( comprise entre 0 et ∏ ) dont on connait de cosinus
Tu dois avoir la fonction sin-1 qui te donne une mesure d'angle ( comprise entre -∏/2 et ∏/2 ) dont on connait de sinus
( Vérifie que ta calculette travaille en radians )
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Envoyé: 28.01.2012, 16:47
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Voie lactée
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Pour les deux je trouve une valeur identique d'environ 0,643
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Envoyé: 28.01.2012, 16:52
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C'est bon .
On te demande une réponse au centième près par défaut , donc tu réponds : .....
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Envoyé: 28.01.2012, 16:54
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Voie lactée
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0,64
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Envoyé: 28.01.2012, 16:59
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OUI.
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Envoyé: 28.01.2012, 17:03
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Pouvez-vous me donner une piste pour la 2a s'il vous plait ?
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Envoyé: 28.01.2012, 17:33
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Pour la 2)a) , tu peux utiliser la voie algébrique ou la voie géométrique ( en passant par les arguments )
Le plus rapide est de passer par la voie géométrique
Pour z ≠ a :
![\frac{z-z_I}{z-a}reel \Longleftrightarrow arg(\frac{z-z_I}{z-a})=0 [\pi]](http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\frac{z-z_I}{z-a}reel \Longleftrightarrow arg(\frac{z-z_I}{z-a})=0 [\pi] "\frac{z-z_I}{z-a}reel \Longleftrightarrow arg(\frac{z-z_I}{z-a})=0 [\pi]")
Tu traduis cela avec un angle ( comme au 1)b) ) et tu tires la conclusion.
modifié par : mtschoon, 28 Jan 2012 - 17:34
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Envoyé: 28.01.2012, 17:46
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D'accord mais comment je peux faire comme au 1b étant donné que je connais seulement l'affixe de a ?
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Envoyé: 28.01.2012, 19:00
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z a pour image M
a a pour image A
zI a pour image I
Tu peux donc directement traduire avec un angle ( comma au 1b) en utilisant les points M , A et I.
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Envoyé: 28.01.2012, 19:25
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Si c'est un nombre réel, l'angle à un point situé en 0 sur l'axe des complexes, donc l'ensemble des points M se situe sur la droite des abscisses. Alors l'angle est de 0 ou ∏? Je pense avoir faux car je n'utilise pas vraiment la méthode du 1b ...
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Envoyé: 28.01.2012, 19:37
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Tu as du mal à maîtriser ton cours.
RAPPEL ( mais j'ignore les notations de ton cours ):
=(\vec{AC},\vec{AB}) "arg\(\frac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\)=(\vec{AC},\vec{AB})")
Applique tout simplement cette propriété.
modifié par : mtschoon, 28 Jan 2012 - 19:37
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Envoyé: 28.01.2012, 20:14
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C'est l'angle (AM, IM) ?
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Envoyé: 28.01.2012, 20:59
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OUI !
Tu as donc ![(\vec{AM},\vec{IM})=0 [\pi]](http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?(\vec{AM},\vec{IM})=0 [\pi] "(\vec{AM},\vec{IM})=0 [\pi]")
Tu peux transformer , en prenant les vecteurs opposés ( ce qui ne change pas l'angle ) :
![(\vec{MA},\vec{MI})=0 [\pi]](http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?(\vec{MA},\vec{MI})=0 [\pi] "(\vec{MA},\vec{MI})=0 [\pi]")
Réflechis , sans faire de calculs , où sont les points M
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Envoyé: 29.01.2012, 11:47
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Les points M se trouvent sur le segment AI ?
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Envoyé: 29.01.2012, 12:17
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Presque .
Les points M se trouvent sur la droite (AI) : vu que l'angle a pour mesure 0 [∏] c'est à dire 0+k∏ ( avec k entier ) , suivant la parité de k , M est entre A et I ou à l'extérieur du segment [AI]
Exception : A est à supprimer pour que (z-a) ne soit pas nul.
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Envoyé: 29.01.2012, 12:42
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D'accord merci. Pour la 2b, je dois m'y prendre comment ?
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Envoyé: 29.01.2012, 13:12
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Il y a un enchaînement logique entre les questions.
Utilise la réponse à la question précédente et le fait que x est réel.
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Envoyé: 29.01.2012, 13:40
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Je dois faire un calcul ou mon dessin est suffisant ?
modifié par : Mestena, 29 Jan 2012 - 13:41
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Envoyé: 29.01.2012, 14:47
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Commence par raisonner avec ton dessin (en utilisant la réponse à la question précédente et le fait que x est réel )
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Envoyé: 29.01.2012, 15:32
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J'ai remplacé x par 0 dans l'expression donnée. Ça donne - zi/- a donc zi/a et le résultat donne un nombre réel. Quand je fais le calcul je trouve 7/10
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Envoyé: 29.01.2012, 15:45
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Quel calcul fais-tu ?
I est le milieu de [BC] :
ça ne fait vraiment pas un nombre réel .
Ta démarche n'est pas bonne . Il ne faut pas faire des essais au hasard.
Il y a des enchaînements entre les questions.
Utilise la réponse à la question précédente ( réponse du 2 a) et le fait que x est réel
modifié par : mtschoon, 29 Jan 2012 - 15:46
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Envoyé: 29.01.2012, 15:52
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C'est le calcul que j'ai fait. J'ai du faire une erreur lorsque j'ai divisé les i par 5, et ça les a annulés.
Est-ce que je peux utiliser l'angle (xA,xI) ? Et si x est réel il se situe sur l'axe des abscisses car son ordonnée (donc son imaginaire) est égale à 0 ?
modifié par : Mestena, 29 Jan 2012 - 15:54
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Envoyé: 29.01.2012, 15:59
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x étant un nombre ( et non un point ), je ne vois pas trop de quel angle tu parles.
Je t'explique un peu.
Soit K l'image du nombre réel x cherché
Tu sais que la droite (AI) est l'ensemble des points tels que (z-zI)/ (z-a) est un nombre réel .
x est un réel : c'est donc un complexe particulier , mais c'est un complexe.
Donc K ∈ (AI)
x est réel , donc K ∈.................
Bilan K est le point d'intersection de (AI) avec ..................
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Envoyé: 29.01.2012, 16:21
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K ∈ au vecteur u et puisque K ∈ AI, K est le point d'intersection entre le vecteur v et (AI)
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Envoyé: 29.01.2012, 16:36
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"K ∈ au vecteur u" ? peut-être t'exprimes tu mal... K appartient à l'axe des réels. et à la droite (AI)
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Envoyé: 29.01.2012, 16:45
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Oui j'entends par le vecteur u l'axe des abscisses et par le vecteu v l'axe des ordonnées
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Envoyé: 30.01.2012, 11:12
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Donc , c'est bon : Le point d'abscisse x cherché est le point d'intersection de la droite (AI) avec l'axe des abscisses.
Si tu cherches l'équation de la droite (AI) tu dois trouver : y=x+3
Pour y=0 , x=-3 donc le point cherché a poit affixe -3 : c'est le point Ω de la question suivante .
modifié par : mtschoon, 30 Jan 2012 - 11:17
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Envoyé: 31.01.2012, 11:18
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D'accord merci. Pour la formule trigonometrique demandée à la 2c je trouve
z= 3 (Cos ∏)
J'ai fait : z= -3
| z | = √(-3)2 = 3
cos θ= -3/3 = -1
Sin θ = 0/-3 = 0
C'est correct ?
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Envoyé: 31.01.2012, 11:47
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Non car l'affixe du vecteur est fausse.
Regarde les affixes de A et de I et fais 
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