Forme trigonométrique des nombres complexes

Bonsoir, demain j'ai un devoir en parti sur la forme trigonométrique des nombres complexes. Il y a un point que je ne comprends pas. Lorsque l'on doit écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique, nous procédons avec cette méthode : -chercher le module du nombre complexe

placer le point sur un graphique
chercher l'argument.
Lorsque la forme tombe "juste" je n'ai pas de problème. Par exemple, z= cos √3/2 + i 1/2. Ici le module fait 1 et √3/2 , 1/2 sont faciles à placer sur un cercle trigonométrique et je n'ai donc aucune difficulté à trouver l'angle qui correspond.
Cependant, il arrive parfois que le module soit égale à une valeur supérieur à 1 ou à une racine. Il arrive aussi que le nombre complexe ne soit pas une valeur exacte à placer sur le cercle trigonométrique (par exemple z=√3 -i).
Je ne sais pas comment faire quand je tombe sur un cas similaire car l'étape du "dessin" et essentiel pour moi afin que je reussise la suite ... Pouvez-vous m'indiquer la méthode s'il vous plait ?
J'espère ne pas m'etre trop mal exprimée et que vous parviendrez à comprendre mon problème ...

Bonsoir,

Une remarque : Si le module r ne vaut pas 1 , le point M d'affixe z n'est pas sur le cercle trigonométrique vu que OM=r

Je te conseille de passer par le cosinus et le sinus , PUIS de placer , sur le cercle trigonométrique , le point m de coordonnées (cosΘ , sinΘ ) pour lire l'angle Θ .

( Ne confonds pas M avec m )

J'utilise l'exemple que tu proposes $\fbox{z=\sqrt 3-i}$

$\text{z=\sqrt 3-1i donc a=\sqrt 3 et b=-1$

a) $r=∣z∣=a2+b2=3+1=4=2r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt 4=2$

b) $cosθ=ar=32cos\theta=\frac{a}{r}=\frac{\sqrt 3}{2}$

$sinθ=br=−12sin\theta=\frac{b}{r}=\frac{-1}{2}$

c) Sur le cercle triogonométrique tu places le point m de coordonnées $(cosθ,sinθ)(cos\theta,sin\theta)$ c'est à dire $(32,−12)(\frac{\sqrt 3}{2} , -\frac{1}{2})$

Tu lis l'angle Θ qui vaut $−π6-\frac{\pi}{6}$ ( en principe tu trouves un angle remarquable ou un associé d'angle remarquable )

Donc :

$\fbox{z=2[cos(-\frac{\pi}{6})+isin(-\frac{\pi}{6})]=2e^{-\frac{\pi}{6}i}}$

Bon courage pour demain.

Merci beaucoup, c'est bien plus clair !