Fonctions, 1èreS

Bonjour, alors voilà, j'ai eu ce problème à faire pour lundi mais je ne comprends pas, pourriez-vous m'aider s'il vous plait? Merci d'avance.

On considère la fonction f définie sur [-1 ; 1] par f(x) = rac (1-x²) et Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1°/
a) Préciser les coordonnées du point M d’abscisse x sur la courbe Cf.
b) Étudier les variations de la fonction f.
c) Démontrer que la courbe Cf, est un demi-cercle de centre O, O étant l’origine du repère.
d) Tracer la représentation graphique de f. (On prendra 5 cm pour une unité)

2°/ On place dans le repère précédant les points A(-1 ;0) et B(1 ;0). Soit M un point quelconque de Cf. A partir des points A et M, o, construit le carré AMCD comme indiqué sur la figure ci-contre :
a) A l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique réaliser la figure.
Faire bouger M et compléter e tableau suivant après l’avoir recopié :
Abscisse de m -1 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1
Aire du carré
AMCD

b) Conjecturer l’expression de l’aire du carré AMCD en fonction de l’abscisse x de M.
c) Exprimer l’ordonnée y en fonction de x.
d) En déduire que l’aire du carré AMCD est une fonction affine.
e) Calculer x pour que l’air du carré AMCD soit égale à l’aire du demi-disque de diamètre [AB].

Salut.

A partir d'où bloques-tu ? Que ne comprends-tu pas ?

1.a) M est un point connu sur le graphique ou pas ?
1.b) Étudie le signe de la dérivée.
1.c) Calcule la distance du point O à un point quelconque de Cf, et montre que cette distance est constante.
1.d) Ben... trace la figure.

@+

Salut
Alors:
1a) j'ai trouvé, j'ai mis M(x;f(x)) soit M(x,√(1-x²)).
1b) J'ai trouvé également, la fonction est croissante sur [-1;0] et décroissante sur [0;1] avec un maximum de 1.
1c) Pour celle ci, je ne sais pas comment m'y prendre, j'avais pensé à au théorème de Pythagore, mais j'ai du mal à démontrer...
1d) La figure est faite oui, sur papier et sur géogébra.

2a) Grâce au logiciel géogébra, j'ai trouvé les airs.

La suite je n'ai pas encore fait.

Salut.

1.a) Ok.
1.b) Ok.
1.c) Le point M du a) est un point quelconque de la courbe Cf, pas vrai ? Calcule alors la distance OM (c'est de la géométrie ; racine de la somme des carrés des différences...). Si cette distance est constante, ça veut dire que O est le centre d'un cercle (enfin... demi-cercle ici) de rayon OM.
1.d) Si tu as utilisé ton compas, alors ce doit être bon.

@+

Oui le point M du a) est quelconque.
"Racine de la somme de la différence des carrés"?

Salut.

Exact, je me suis trompé dans ma formulation, c'est corrigé. :razz:

Ça ne te dis rien ? Mettons que tu connaisses les coordonnées de deux points A(1;2) et B(4;1), comment calcules-tu la distance AB ?

@+

Si, enfin non pas vraiment, je comprends pas la formulation.
La distance AB se calcule par:
XB-XA = 4-1 = 3
YB-YA = 1-2 = -1
AB (3,-1)

Salut.

Faux, ça c'est les coordonnées du vecteur $AB→AB^\rightarrow$ . Je veux sa norme.

AB = √ $((x$ _B $x_A$ )² + $(y$ _B $y_A$ )²)
AB = √((4-1)² + (1-2)²)
AB = √(3² + (-1)²)
AB = √(10)

Bon, maintenant on fait pareil avec O(0;0) et M(x;f(x)).

@+

Ahhhh oui c'est vrai!
Donc ça me fait
OM=1, n'est-ce pas ?

Salut.

Effectivement. Pour tout point M(x;f(x)) de la courbe Cf, la distance OM est constante de valeur 1. Donc ?

@+

Cool, merci bien!
J'essaye de faire la suite.

Serait-il possible qu'à la question 2c) la réponse soit juste: y=√(1-x²) Ou ça serait trop simple?

Salut.

2.c) Je pense que c'est possible, je ne vois pas ce que "y" pourrait être d'autre. De plus, ça colle avec la question suivante, et la question 1.a) n'était pas plus compliquée.

@+

Ok d'accord
La Q2d) Il faut que ce soit sous forme ax+b pour que ce soit une fonction affine, or √(1-x²) ne l'est pas...

Salut.

2.d) Effectivement, f n'est pas une fonction affine. Mais la question porte sur l'aire du carré.

@+

J'avais fait AM² puisque AMCD est un carré. Mais le problème que je n'obtient pas du tout une fonction affine.
Donc ça me faisait:
AM=√( (xM-xA)²+(yM-yA)² )
AM= √( (x-(-1))²+(√(1-x²)-0)² )
AM= √( (x+1)²+(√(1-x²))² )
AM=√(x²+2x+1+(√(1-x²)²)
AM²= x²+2x+1+1-x²

Salut.

2.d) Oui, le calcul me semble juste, reste à simplifier jusqu'au bout. Par exemple que valent x²-x² et 1+1 ?

@+

Mais oui bien sûr je n'avais pas vu, merci

Enfin dernière question:
j'ai fait:
Aire AMCD=Aire du demi cercle
2x+2 = (πr²)/2
2x+2 = (π*1²) /2
2x+2 = π/2
2x = π/2 -2
2x = π/2 - 4/2
x = ( (π-4)/2)/2
x = (π-4)/4
Je ne suis pas sure du tout de moi là.

Salut.

2.e) Moi ça me va, plus qu'à rédiger avec des vraies phrases au propre.

@+

Ok merci bien pour votre aide en tout cas !