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Envoyé: 03.01.2012, 17:36
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Constellation
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Bonjour a tous voila un petit Dm pour vendredi que l'on viens de me donner et malheureusement je suis bloqué
On considère la suite (Un) définie par { U0=1 et Un+1= Un+2n+3 pour tout entier naturel n
1) Etudier la monotonie de la suite (Un)
2)a. Démontrer par récurrence que , pour tout entier naturel n, Un>n²
b. Quelle est la limite de la suite (Un)
3) Proposer une démarche permettant de conjecturer une expression de un, en fonction de n , puis démontrer cette conjoncture
Voila la 1ère j'utilise Un+1 - Un mais on me donne pas Un alors cela me bloque très rapidement ...
Pour la 2 je pense y arriver
Mais la 3 je n'ai pas compris quoi faire
Merci pour vos aides en avance
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Envoyé: 03.01.2012, 19:25
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Modératrice
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Bonsoir johnsmith,
Vu que Un+1=Un+2n+3,
Un+1 - Un = ....
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Envoyé: 03.01.2012, 20:18
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Constellation
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Bonsoir Noémie ,
j'ai trouvé Un+1-Un= (Un+2n+3)- Un
= -2n-3
Donc toujours négatif non ?
Donc à ce moment la Un toujours décroissant... Est-ce la bonne réponse ? ...
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Envoyé: 03.01.2012, 20:26
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Vérifie le calcul
Pourquoi -2n - 3 ??
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Envoyé: 03.01.2012, 20:29
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Constellation
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Les Un s'annule alors il reste 2n+3 alors à ce moment la c'est toujours croissant non ?
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Envoyé: 03.01.2012, 20:30
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Oui suite croissante.
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Envoyé: 03.01.2012, 21:08
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Constellation
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Donc maintenant pour la question 2 , par récurrence , je pose (Un) la suite définie par { U0=1 et Un+1=Un+2n+3
je fais une initialisation au rang n=0
U0+1= U0+2*0+3 = 1+0+3=4
La propriété est fausse non...?
modifié par : johnsmith, 03 Jan 2012 - 21:52
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Envoyé: 03.01.2012, 22:12
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Pourquoi fausse ?
U0 = 1 > 0
U1 = 4 > 1
.....
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Envoyé: 04.01.2012, 00:01
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Constellation
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Je veut bien mais en cours j'ai vu une méthode de récurrence avec initialisation et hérédité , dans l'initialisation on prenais le 1er terme pour n donc nous ici c'est bien n=0 non ? donc Un+1 = U1 ... Et n²=0 ? ..
Je sais pas si je suis claire ... Je voudrais juste avoir un eclairsisement sur ce point si possible ... Merci d'avance
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Envoyé: 04.01.2012, 09:46
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Oui,
C'est bien cette méthode,
n = 0, U0= 1, la relation à vérifier est Un>n², 0² = 0
soit 1>0, ce qui est vrai.
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Envoyé: 04.01.2012, 12:50
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Constellation
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Ah oui maintenant je vois , désolé je n'avais pas compris tout de suite , et grâce a cela j'ai réussi l'hérédité , et donc la limite , merci beaucoup .
Pouvais vous juste me dire ce qu'on attend de moi dans la question 3 ? ...
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Envoyé: 04.01.2012, 13:10
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Pour la question 3, propose une relation de Un en fonction de n.
Analyse les termes U0, U1, U2, U3,
Puis tu démontres cette relation.
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Envoyé: 04.01.2012, 13:40
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Constellation
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D'accord je vais essayer puis vous le montrer ...
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Envoyé: 04.01.2012, 18:28
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Constellation
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U0=1
U1=4
U2=9
U3=16
Je remarque que a chaque fois il r+2 ou r devient le r+2 d'avant , je sais si vous voyais ce que je veut dire ...
J'arrive donc pas a trouver pour tout n ...
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Envoyé: 04.01.2012, 18:32
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Analyse la suite 1 ; 4 ; 9 ; 16,
comment trouver les termes suivant .....
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Envoyé: 04.01.2012, 18:37
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Et bien on fait on fait +3 puis +7 puis +9 et ect donc a chaque fois il y a un écart de +2 en prenant r d'avant ...
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Envoyé: 04.01.2012, 18:51
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U0=1
U1=4
U2=9
U3=16
.....
Un = (n+1)²
Démontre cette conjecture. Par récurrence par exemple.
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Envoyé: 04.01.2012, 19:07
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J'ai fais l'initialisation au rang n=0 puis je fais l’hérédité avec
on a Up=(p+1)²
On veut Up+1=Up+2p+3
Pour le moment c'est bien cela ?
Mais après j'utilise Up+1= Up+(p+1)² ?
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Envoyé: 04.01.2012, 19:30
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pour l'hérédité, il faut prouver que U(p+1) = (p+2)²
et Up+1=Up+2p+3
= (p+1)²+2p+3
= ...
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Envoyé: 04.01.2012, 19:37
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Up+1=Up+2p+3
= (p+1)²+2p+3
= p²+2p+1+2p+3
=p²+4p+4
=(p+2)²
A partir de la , je conclus qu'a n'importe qu'elle rang p ∈ N , l’hérédité est prouvé donc vrai a n'importe quel rang n .
Est cela ? et est ce que ma phrase de conclusion est suffisante ? ...
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Envoyé: 04.01.2012, 19:59
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C'est juste.
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Envoyé: 04.01.2012, 20:14
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Merci
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