Statistiques : inégalité de Bienaymé-Tchebychev
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CCizer dernière édition par
Bonjour, je cherche de l'aide afin de résoudre l'exercice suivant :
Soit n un entier naturel non nul.
Soit x1,x2,...,xn les valeurs d'une série statistique.
On note x‾\overline{x}x sa moyenne et σ\sigmaσ son écart type.
Soit k le nombre de valeurs de la série statistique vérifiant ∣xi−x‾∣<2σ|x_i-\overline{x}| \lt 2\sigma∣xi−x∣<2σ.
On suppose σ\sigmaσ > 0.-
Montrer que ∑i=1i=n(xi−x‾)2≥4(n−k)σ2\sum_{i=1}^{i=n}(xi-\overline{x})^2 \ge 4(n-k)\sigma ^2∑i=1i=n(xi−x)2≥4(n−k)σ2.
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En déduire que k ≥ 3/4n.
Merci d'avance pour votre aide.
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Bonsoir Cizer,
Indique tes éléments de réponse.
Exprime la somme.
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Combien de terme |xi-/x| sont ≥ 2∂ ?
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Ssalam dernière édition par
Si k est le nombre de valeurs xi de la série statistique vérifiant |xi-/x| < 2∂, alors que doit vérifier le reste des termes de cette série et quel est leur nombre ?
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CCizer dernière édition par
On a : k < 2∂
C'est ça ?
Je vous avouerai que je ne comprends rien a cet exercice , je ne vois pas pour où commencer ...
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Quelques pistes pour t'aider à comprendre ,
Il y a k valeurs de la série statistique vérifiant ∣xi−x‾∣<2σ|x_i-\overline{x}| \lt 2\sigma∣xi−x∣<2σ.
DONC: il y a (n-k) valeurs de la série statistique vérifiant ∣xi−x‾∣≥2σ|x_i-\overline{x}| \ge 2\sigma∣xi−x∣≥2σ.
En élevant au carré :
$|x_i-\overline{x}| \ge 2\sigma \longleftright (x_i-\overline{x})^2 \ge 4\sigma^2$
La somme de ces (n-k) valeurs est donc supérieure ou égale à (n−k)4σ2(n-k)4\sigma^2(n−k)4σ2
La seconde question s'en déduira .
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JJuliiiiien dernière édition par
Pouvez vous réexpliquer cela svp je n'ai pas bien compris merci
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Ce topic date de cinq ans environ...et à ma connaissance, ce n'est pas dans l'esprit du programme actuel de 1S...
Attends d'avoir un cours sur le sujet.
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JJuliiiiien dernière édition par
Oui mais j'ai un dm avec cet enoncé , pouvez vous donner les résultats svp merci !
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mtschoon dernière édition par
D'accord, je regarde mais ici on ne donne pas les résultats, on aide à les trouver.
La somme S de ces (n-k) valeurs est donc supérieure ou égale à (n−k)4σ2(n-k)4\sigma^2(n−k)4σ2
s≥4(n−k)σ2s \ge 4(n-k)\sigma^2s≥4(n−k)σ2
Conséquence :
Vu que
$\bigsum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x )^2\ge s$
on peut déduire que :
$\fbox{\bigsum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x )^2\ge 4(n-k)\sigma^2}$
Utilise la définition de la variance
$v(x)=\sigma ^2=\frac{1}{n}\bigsum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x )^2$
Donc $n\sigma ^2=\bigsum_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline x )^2$
La formule encadrée peut donc s'écrire :
nσ2≥4(n−k)σ2n\sigma ^2\ge 4(n-k)\sigma^2nσ2≥4(n−k)σ2
Tu simplifies par σ², tu transformes et tu dois trouver k en fonction de n , comme demandé dans l'énoncé.
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JJuliiiiien dernière édition par
Je bloque vraiment , mais quand vous dites simplifier etc , comment voulez vous simplifier cela et en déduire que K≥3/4 n ?
Je suis assez perdue dans tout ça..
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mtschoon dernière édition par
En divisant chaque membre par σ² qui est positif, tu trouves
n≥4(n−k)n \ge 4(n-k)n≥4(n−k)
Tu dois pouvoir terminer.
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JJuliiiiien dernière édition par
Pouvez vous m'expliquer comment trouver 88% sur une série d'intervalle [x-3σ ; x+3σ] , je ne trouve vrmt pas :(..
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mtschoon dernière édition par
Piste,
Tu appliquesexactement la méthode faite précédemment.
Si tu as compris pour 2σ, tu dois savoir faire pour 3σ !
Tu pars de ∣xi−x‾∣≥3σ|xi-\overline x| \ge 3\sigma∣xi−x∣≥3σ
Tu arrives à $\bigsum (xi-\overline x)^2 \ge 9(n-k)\sigma^2$
Tu continues
Tu dois trouver k≥89nk\ge \frac{8}{9}nk≥98n
Tu tires la conclusion.
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mtschoon dernière édition par
Hier soir, tu m'as envoyé un MP demandant de te desinscrire.
Voilà ce qui est indiqué dans les FAQ
Citation
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