Calcul d'une somme à l'aide des formules sur les suites géométriques

Je vais passer un concours le mois prochain et j'ai des exercices que je n'arrive pas à faire.

Pourriez vous m'expliquer ?

Merci beaucoup par avance.

1er exercice : Calculer la somme

Sn = 1 + 1/3 + 1/3 exposant 2 + ... +1/3 exposant 35

2ème exercice : La suite géométrique (Un) est définie par :

U0 = 9
Un + 1 = - 1/3 Un, nEN

1/ Calculer U1, U2, U3, U4
2/ Exprimer Un en fonction de n
3/ Calculer U0 + U1 + U2 + ... + U10

Je vous remercie encore

salut

posons

S=SOM(1/3^k) que j'apelle ; (1) pour k compris entre 1 et n
multiplions mbr à mbr cette équation par 1/3

on a alors 1/3.S=SOM((1/3)^(k+1)) pour k compris entre 1 et n

que j'appelle ;(2)

en faisant la difference (1)-(2)
on obtient ;S(1-1/3)=SOM(SOM(1/3^k)-SOM((1/3)^(k+1))

effectuons le chgt de variable suivant k+1=j dans (2)

on a alors
S.(2/3)=1/3- (1/3)^n+1., je te laisse finir.....

pour la 2 ieme question on a Un=(-1/3)^n.Uo

je te laisse en faire un peu ....

Jolie démonstration ! Et sans passer par la formule de la somme des termes d'une suite géométrique... Voilà !

Je suis désolé mais je ne comprends pas comment tu as fait.

Peux-tu m'expliquer merci

Zauctore a mis un cours sur les suites

Clique pour lire le cours

Pour t'expliquer un peu partons de l'exercice 2

$u_0$ = 9

$u_{n+1}$ = (-1/3) $u_n$ ce qui veut dire que pour calculer un terme de la suite il faut multiplier le précédant par -1/3 (on appelle -1/3 la raison de la suite géométrique)

$u_1$ = (-1/3) $u_0$ = (-1/3) x 9 = -3

$u_2$ = (-1/3) $u_1$ = (-1/3) x (-3) = 1

$u_3$ = (-1/3) $u_2$ = (-1/3) x 1 = -1/3

$u_4$ = (-1/3) $u_3$ = (-1/3) x (-1/3) = 1/9

etc ...

puisque $u_n$ est une suite géométrique en utilisant la formule du cours on a

$u_n$ = $u$ _0 $1/3)^n$

Pour la somme des premiers termes d'une suite géométrique il y a aussi une formule (attention on te demande d'aditionner les termes de $u_0$ à $u_{10}$ donc il y a 11 termes)

Pour le 1 il suffit de créer une suite $v_n$

$v_0$ = 1
$v_1$ = 1/3 = (1/3) $v_0$
$v_2$ = 1/3^2 = (1/3) $v_1$

$v_{n+1}$ = 1/3^(n+1) = (1/3) $v_n$

C'est donc $v_n$ est une suite géométrique de raison 1/3

Donc la somme demandée est la somme des 36 premiers termes de la suite $v_n$

Merci merci beaucoup, j'ai tout compris, je vous remerci encore car c'est un concours assez important que je vais passer.

Merci encore