arithmétique : nombres de Fermat
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Eeas dernière édition par
Bonjour j'ai un exercice :
Les nombres Fermat
Pierre Fermat (16001-1665) est à l'origine de nombreux problèmes d'arithmétique .
Il étudia en particulier les nombres Fn de la forme 2^2^n +1 et qui portent aujourd'hui son nom .- Calculer F0,F1,F2, et F3 et vérifier que ces nombres sont premiers .
2 . Fermat pensait que tous les nombres Fn étaient premiers mais Euler affirma plus tard que F5 ne l'était pas .
Créer, dans votre calculatrice, un programme donnant la décomposition en facteurs premiers d'un entier ( page 20 de votre livre ) . Tester Le programme avec un entier pas trop grand puis utiliser le pour démontrer que F5 n'est pas premier . - Le but de cette question est de démontrer que 2 nombres distincts de Fermat sont toujours premiers entre eux .
Soit n et k deux entiers naturels non nuls . on pose : x=2^2^n
(a) Exprimer en fonction de x les nombres Fn et F(n+k) .
(b) Démontrer que F(n+k)-2 est divisible par Fn . On pourra alors utiliser par récurrence sur l'entier k .
(c) En déduire que : Pgcd (Fn; F(n+k) )= Pgcd (Fn;2).
(d) Conclure que Fn et F(n+k) sont premiers entre eux .
Je ne comprend pas la (b) et (c) , quelqu'un peut m'aidez svp ?
Voila , s'il se trouve des erreur aidez-moi svp à me corriger
Merci d'avance
- Calculer F0,F1,F2, et F3 et vérifier que ces nombres sont premiers .
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mtschoon dernière édition par
Bonsoir,
Recompte F3 .
F3=28F3=2^8F3=28+1=......
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Eeas dernière édition par
Je viens de remarquer que j'ai fait une erreur , en fait F3= 257
Je rectifie mes erreurs F(n+k)= x^2^k +1
Mais comment je dois démontrer que F(n+k) est divisible par Fn ? , car j'ai essayer avec la méthode de récurrence je n'y arrive pas
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mtschoon dernière édition par
C'est bon pour F3
Il faut te lancer dans la récurrence .
Initialisation pour k=1
Après calculs :
fn+1=x2+1f_{n+1}=x^2+1fn+1=x2+1
fn+1−2=x2−1=(x+1)(x−1)=fn(x−1)f_{n+1}-2=x^2-1=(x+1)(x-1)=f_n(x-1)fn+1−2=x2−1=(x+1)(x−1)=fn(x−1)Donc :fn+1−2f_{n+1}-2fn+1−2 est multiple de fnf_nfn
Transmission
Tu supposes que fn+k−2f_{n+k}-2fn+k−2 est multiple de fnf_nfn
Tu calcules fn+k+1−2f_{n+k+1}-2fn+k+1−2 en fonction de x
En factorisant , tu trouveras que fn+k+1−2f_{n+k+1}-2fn+k+1−2 est multiple defnf_nfn
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Eeas dernière édition par
Mais est-ce qu'on peux faire par modulo car j'ai réussi à faire par congruence , est-ce que c'est passable par congruence ? pour la question (b) ?
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mtschoon dernière édition par
Bien sur que tu peux faire le b) avec les congruences .
Mais alors , dans ce cas , tu ne fais pas de récurrence ; tu utilises seulement les propriétés des congruences.Tout dépend de la méthode souhaitée par ton énoncé !
Par congruences :
fn+k=x2k+1f_{n+k}={x^2}^k+1fn+k=x2k+1
fn+k−2=x2k−1f_{n+k}-2={x^2}^k-1fn+k−2=x2k−1
or fn=x+1f_n=x+1fn=x+1
x=fn−1x=f_n-1x=fn−1
Tu peux écrire : fn−1≡−1[fn]f_n-1\equiv -1 [f_n]fn−1≡−1[fn]
donc x≡−1[fn]x \equiv -1 [f_n]x≡−1[fn]
x2k≡(−1)2k[fn]{x^2}^k \equiv {(-1)^2}^k [f_n]x2k≡(−1)2k[fn]
x2k≡1[fn]{x^2}^k \equiv 1 [f_n]x2k≡1[fn]
x2k−1≡0[fn]{x^2}^k-1 \equiv 0 [f_n]x2k−1≡0[fn]
fn+k−2≡0[fn]f_{n+k}-2 \equiv 0 [f_n]fn+k−2≡0[fn]
Donc...............