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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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Repère orthonormé et triangles isocèles

- classé dans : Vecteurs & droites

Envoyé: 07.12.2011, 15:55

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S5

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Bonjour à tous !

J'ai quelques petits problèmes pour résoudre un exercice dont l'énoncé est le suivant :
"(O;I,J) est un repère orthonormé. A a pour coordonnées (0;2) et B(1;0).
Déterminez tous les points C de l'axe des abscisses tels que le triangle ABC soit isocèle."

Après avoir dessiné ce repère, je pense que le triangle ne peut-être isocèle en B (du moins sur l'intervalle [0;+∞[ puisque la longueur AC sera toujours supérieure à celle de BC).

Cependant si x= -2, le triangle ABC est isocèle A n'est-ce pas ?

Enfin, avez-vous une méthode pour trouver tous les points possibles ...?
Merci d'avance !

modifié par : mathtous, 07 Déc 2011 - 16:04
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Envoyé: 07.12.2011, 16:01

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mathtous

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Bonjour,
Nomme M(x,0) le point cherché.
Calcule AB, puis BC et AC en fonction de x.

PS : j'ai modifié le titre de ton sujet pour qu'il soit plus conforme à ton énoncé.


modifié par : mathtous, 07 Déc 2011 - 16:05


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Envoyé: 07.12.2011, 16:05

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Merci beaucoup ! Je vais essayer.
Mais, pour tout x donné, AB restera de même longueur n'est-ce pas ?

PS: D'accord pour le sujet ! Effectivement c'est plus approprié.

modifié par : S5, 07 Déc 2011 - 16:25
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Envoyé: 07.12.2011, 16:07

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Bien sûr.
En fait, tu peux te contenter des carrés des distances pour le moment.
Mais tu dois envisager toutes les possibilités : le triangle peut être isocèle en A, ou en B, ou en C.



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Envoyé: 07.12.2011, 16:22

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D'accord, merci.
Pour calculer AB en fonction de x, cela reste AB puisque cette longueur ne peut-être modifiée ?
Qu'est-ce que les "carrés des distances" ?
Et, malgré de nombreux essais, je ne vois pas comment il peut-être isocèle en B ?
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Envoyé: 07.12.2011, 16:25

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Citation
Qu'est-ce que les "carrés des distances" ?
AB² , BC² , AC².
Que vaut AB² ? (oui, elle ne dépend pas de x).

Citation
Et, malgré de nombreux essais, je ne vois pas comment il peut-être isocèle en B ?
Trace le cercle de centre B et de rayon BA.




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Envoyé: 07.12.2011, 16:40

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Avec mon repère, AB est de 3.5 cm, AB² est donc égale à 12.25 cm.

Effectivement j'ai bien trouvé un point tel que ABC soit isocèle en B, cependant ce n'est pas du tout un nombre exact ... (cf : sur mon repère, le point C se situe entre -1 et -1.5)
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Envoyé: 07.12.2011, 16:47

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Avec une autre unité, AB² ne vaudrait plus 12.25 (cm² pas cm).
En choisissant une unité égale à 1 (cm si tu veux), que vaut AB² ?
Si tu traces bien le cercle, tu trouves non pas 1 mais 2 points pour que ABC soit isocèle en B.
Évidemment, les abscisses de ces points ne sont pas entières !
Qu'importe, tu dois calculer leur valeurs exactes (fi des valeurs approchées !).
Pour cela, commence comme je te l'ai dit à calculer AB² , BC² , et AC², en utilisant les formules donnant la distance de deux points.




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Envoyé: 07.12.2011, 17:38

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Ah oui, oups ! Et je trouve effectivement 2 poins pour que ABC soit isocèle en B, et un seul pour que ABC soit isocèle en A car l'autre point est B lui même.

Mais c'est là où je bloque ... Pourquoi calculer les carrés des distances, alors que nous devons aboutir à des triangles isocèles ? Je ne vois pas comment faire ...
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Envoyé: 07.12.2011, 17:44

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On calcule les distances afin de voir quand elles sont égales : un triangle isocèle a bien 2 côtés de même longueur ?
Quant au calcul des distances, tu as une formule avec les coordonnées des points :
AB² = (xA - xB)² + (yA - yB
Qu'est-ce que cela donne pour AB² ?


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Envoyé: 07.12.2011, 17:56

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Ah !

Oui j'ai appris :
AB² = (xB – xA)² + (yB – yA)²
Ou bien:
AB = √(xB – xA)² + (yB – yA)²

Si j'applique cette formule, AB² = 1² + (-2)² = 5
Donc AB = √5
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Envoyé: 07.12.2011, 17:58

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Garde AB² : on n'a pas vraiment besoin de AB.
Maintenant, calcule également BC² et AC² en fonction de x cette fois.



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Envoyé: 07.12.2011, 18:59

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D'accord.
Donc BC² = (xC - xB)² + (yC-yB)²
= (xC - 1)² + (0 - 0)²
= (xC - 1)²
et AC² = (xC)² + 4
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Envoyé: 07.12.2011, 19:17

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Excuse, il y a "rencontre" entre deux lettres : j'ai appelé C ce que j'avais appelé M.
Par conséquent, xC c'est x.

On a donc, en résumé : C(x;0) ( ou M(x;0))
AB² = 5
BC² = (x-1)²
AC² = x²+4

Le triangle peut-il être isocèle en A ?
Pour cela on doit résoudre l'équation AB² = AC²,
donc 5 = x² + 4
Qui admet 2 solutions dont une seule est acceptable ( sinon on retombe sur C=B)

Tu traites de même les deux autres possibilités.

Tu dois y arriver sans aide.
De toute façon je dois me déconnecter.
A+ et bon courage.



Mathtous
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Envoyé: 07.12.2011, 19:20

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J'ai ensuite calculé, pour ABC isocèle en B : AB² = BC² (j'ai trouvé deux valeurs de x possibles).
Je fais donc de même pour ABC isocèle en A puis en C ?

Excusez-moi, j'ai répondu sans avoir vu votre réponse. C'est donc bel et bien ce que j'ai fais ! Merci beaucoup pour votre aide, bonne soirée !



modifié par : S5, 07 Déc 2011 - 19:23
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Envoyé: 08.12.2011, 10:06

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mathtous

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Bonjour,
Citation
J'ai ensuite calculé, pour ABC isocèle en B : AB² = BC² (j'ai trouvé deux valeurs de x possibles).
Quelles sont ces deux valeurs ?

Citation
Je fais donc de même pour ABC isocèle en A puis en C ?
Bien sûr !


Mathtous
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