Nombres complexes : Demonstration par récurrence


  • N

    Bonjour.
    J'ai un problème avec une récurrence a faire.
    Voila ma prof veut que je demontre par recurrence que (zn)‾=(z‾)n\overline {(z^n)} = (\overline {z})^n(zn)=(z)n. On nous donne une phrase pour nous aider qui nous dit : " On montre cela d'abord pour n entier naturel non nul (par récurence) et ensuite on pose n=p avec n entier relatif négatif non nul et p entier natuel non nul."

    Je ne comprend rien a cette phrase. :mur:
    Si je comprend, je dois, par récurence trouver dans un premier temps que cela est vrai pour n.
    Mais je ne voit pas comment faire, dois-je le faire avec Pk+1 ?

    Merci d'avance.


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Visiblement , il faut que tu démontres cette propriété pour n ∈ Z( entiers positifs , négatifs , nul )

    1. Tu commences par la démontrer pour n ∈ N , comme d'habitude , par récurrence ( vérification pour n=0 , puis transmission - on dit aussi hérédité )

    2. Ensuite , tu as fait une faute dans ton énoncé .

    Pour n entier négatif , tu posesn=-p
    , avec p entier positif

    Grace à la propriété démontrée ( par récurrence ) : tu peux dire que :

    (zp)‾=(z‾)p\overline {(z^p)} = (\overline {z})^p(zp)=(z)p

    Avec les propriété des complexes , tu dois arriver à :

    (z−p)‾=(z‾)−p\overline {(z^{-p})} = (\overline {z})^{-p}(zp)=(z)p

    c'est à dire à :

    (zn)‾=(z‾)n\overline {(z^n)} = (\overline {z})^n(zn)=(z)n


  • N

    Bon,j'ai essayé de faire quelque chose, ça me donne

    $\overline{(z^p+1)}=(\overline{z})^{p+1} \ \ \ \overline{z^p}x \overline{z}=(\overline{z})^{p}x(\overline{z}) \ \ \ (\overline{z})^px\overline{z} = (\overline{z})^px\overline{z}\$

    Je suis sur la bonne voie ?


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je comprends mal ta démarche .

    As-tu compris mon explication ?

    As-tu commencé par faire la démonstration par récurrence pour n ∈ N ?

    Ensuite , pour n=-p avec p naturel , tu appliques simplement à p naturel ce que tu as démontré pour n naturel.

    Tu peux ainsi l'utiliser pour prouver ( très rapidement ) la propriété demandée pour l'exposant -p


  • N

    Pour la récurence avec n je dois faire ?

    $\overline{(z^n+1)}=(\overline{z})^{n+1} \ \ \ \overline{z^n}x \overline{z}=(\overline{z})^{n}x(\overline{z}) \ \ \ (\overline{z)^n}x\overline{z} = (\overline{z})^nx\overline{z}\ \ (\overline{z)^n} = (\overline{z})^n\$

    Et après, je fait la même chose avec -p ?

    Ou je remplace tout simplement n par -p?


  • mtschoon

    Pour la récurrence pour n ∈ N

    Initialisation : Tu vérifies que pour n=0

    (z0)‾=(z‾)0\overline {(z^0)} = (\overline {z})^0(z0)=(z)0

    Transmission ( ou hérédité )

    Tu supposes que pour une valeur n de N

    (zn)‾=(z‾)n\overline {(z^n)} = (\overline {z})^n(zn)=(z)n

    Tu démontres , avec cette hypothèse , que :

    (zn+1)‾=(z‾)n+1\overline {(z^{n+1})} = (\overline {z})^{n+1}(zn+1)=(z)n+1

    DEMONTRATION ( début )

    (zn+1)‾=zn×z‾\overline {(z^{n+1})}=\overline {z^n \times z}(zn+1)=zn×z

    Tu appliques la propriété vue en cours pour deux facteurs :

    (zn+1)‾=zn×z‾=zn‾×z‾\overline {(z^{n+1})}=\overline {z^n \times z}=\overline{z^n}\times \overline{z}(zn+1)=zn×z=zn×z

    Tu utilises l'hypothèse de la récurrence pour continuer et terminer


  • N

    Ah !
    C'est bon, avec tout ca j'ai enfin compris
    Je vais finir tout ca ce soir.
    Merci beaucoup pour votre aide. 🙂


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