Fonction exponentielle ( limites - sens de variation )

Bonsoir,

Je n'arrive pas à resoudre ces questions:

1/ Soient d et g définies sur l'ensemble des nombres réels par
$f(x)=x-e^x$ et $g(x)=(1-x)e^x$

Déterminer les limites de f et g en +00 et en -00
Etudier le sens de variation de chacunes des fonctions f et g sur l'ensemble des nombres réels.

Merci d'avance de l'aide

Bonsoir,

Pistes pour démarrer

Pour f , en +∞ , tu as une indétermination . Mets x en facteur

$f(x)=x(1−exx)f(x)=x(1-\frac{e^x}{x})$

Ensuite , tu utilises les limites usuelles.

Pour f en -∞ , tu utilises directement les limites usuelles

Pour g en +∞ , tu utilises directement les limites usuelles

Pour g en -∞ , tu développes :

$g(x)=e^x-xe^x$

Ensuite , tu utilises les limites usuelles

Donne nous tes réponses si tu veux une vérification.

alors pour f en +00 je trouve

lim x =+00
lim (1-ex/x)= +00

donc lim f= +00

en -00 je trouve 0

pour g je ne trouve pas

Non.

Pour f , en +∞, utilise la transformation que je t'ai indiquée.
x tend vers +∞ , $e^x$ /x tend vers +∞
Tu dois trouver la réponse

Pour f , en -∞, il n'y a pas d'indétermination . Utilise la forme de l'énoncé.
x tend vers -∞ , $e^x$ tend vers 0
Tu dois trouver la réponse

oui j'ai trouvé ca me fait
lim f en +00= -00
LIM F EN -00= 0

LIM G EN +00= -00
lim g en -00 = 0

maintenant je dois étudier le sens de variation de chacunes des fonctions f et g sur l'ensemble des nombres réels. je dois dériver ?

OK pour les limites de g

Pour f , revois la limite en -∞

je ne vois pas pour la limite de f en -00, pouvez vous m'aider ?

lim f= -00 ?

je dois ensuite etudier le sens de variation de chacune des fonctions f et g sur l'ensemble des nombre réels, comment faire ?

ensuite je dois pour tout réel x montrer que h'(x)=1-g(x) sachant que h(x)=f(x)-g(x)

Bonsoir
$lim⁡x→−∞ex=0\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}}e^{x}=0$
$lim⁡x→−∞,f(x)=lim⁡x→−∞,x(1−exx)=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}},f(x) =\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}},x(1-\dfrac{e^x}{x})=-\infty$

ok merci beaucoup !

je dois ensuite etudier le sens de variation de chacune des fonctions f et g sur l'ensemble des nombre réels, comment faire ? il faut dériver mais je ne trouve pas les formules

ensuite je dois pour tout réel x montrer que h'(x)=1-g(x) sachant que h(x)=f(x)-g(x)

$f'(x)=1-e^x$
$f′(x)=0↔1−ex=0↔x=0f'(x)=0\leftrightarrow 1-e^x=0\leftrightarrow x=0$
pour x < 0, f'(x) > 0 et par conséquent f est croissante sur $]−∞;0[]-\infty;0[$
Pour $\geq 0, f'(x)\leq 0$ et donc f est décroissante sur $[0;+∞[[0;+\infty[$
Rappel: $(u v)^{'} = u^{'} v + v^{'} u$
Donc $g'(x)=-xe^x$

$h(x)=f(x)-g(x)=x+(x-2)e^x$
donc $h′(x)=1+1×ex+ex×(x−2)=1+(x−1)ex=1−(1−x)ex=1−g(x)h'(x)=1+1\times e^x+e^x\times (x-2) =1+(x-1)e^x=1-(1-x)e^x=1-g(x)$
du courage....

MERCI pour toutes ces réponses

je suis blqoué maintenant car je dois démontrer que les courbes c et c' réprésentant la fonction $f(x)=x-e^x$ et $g(x)=(1-x)e^x$ admettent un unique point d'intersection dont l'abscisse notée alpha appartient a l'intervalle 1 2 donner un encadrement a 0,1

Une piste possible

Tu poses h(x)=f(x)-g(x)

Tu étudies les variations de h

Ensuite , sur [1,2] , tu utilises le théorème des valeurs intermédiares

Je ne trouve pas les valeurs ou hx s'annule pour les variations de h je ne prends pas la derivée ?

Oui , pour trouver les variations de h , tu prends la dérivée.

Sur [1,2] , avec le TVI , tu pourras prouver qu'il existe une valeur α telle que
h(α)=0 , c'est à dire f(α)=g(α)

Tu trouveras l'encadrement à la calculette.

Je trouve pour le signe de la derivée qu'elle est croissante de -00 a +00 donc hx aussi

Et pour l'encadrement 1,6 et 1,7

C'est bon pour l'encadrement de α

Par contre , ce que tu dis précédemment est bizarre.

Il faut que tu prouves que h'(x) est POSITIVE pour prouver que h est croissante.

oui j'ai montré que h'(x) est positive et utilisé le ctvi pour montrer qu'il existe un seul point d'intersection

maintenant il me reste seulement à montrer suivant les valeurs de x la position relative de la courbe c $f(x)=x-e^x$ et et de la courbe c' $g(x)=(1-x)e^x$

comment faire ?

Tu utilises h défini par h(x)=f(x)-g(x)que tu viens d'étudier .

Pour h(x)=0 : C coupe C'
Pour h(x) > 0 : C au dessus de C'
Pour h(x) < 0 : C en dessous de C'