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Exercice dérivation |
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Envoyé: 26.11.2011, 17:32
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Une étoile
enregistré depuis: nov.. 2011
Messages: 20
Status: hors ligne
dernière visite: 11.03.12
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Bonjour,
Je ne comprend pas comment faire cette question :
Démontrer que pour tout h ∈ ]-0.1 ; 0.1 [ on a   < 1
Merci de votre aide
modifié par : poiuytre, 26 Nov 2011 - 17:38
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Anonyme
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Envoyé: 26.11.2011, 18:53
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Utilisateur non enregistré
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Hello Poiuytre
Je te propose d'étudier le signe
de 
puis selon le signe supprimer la valeur absolue
et tout ramener d'un coté de l'inégalité ...
... puis de nouveau étudier le signe de l'expression
simplifiée
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Envoyé: 27.11.2011, 09:48
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Modératrice
enregistré depuis: févr.. 2011
Messages: 2241
Status: hors ligne
dernière visite: 23.05.12
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Bonjour,
Remarque : une valeur absolue étant , par définition positive , ce n'est pas le signe de  qu'il faut étudier ( comme indiqué précédemment ) , mais le signe de 
Pistes,
Soit =\frac{h^2}{h^2+3h} "g(h)=\frac{h^2}{h^2+3h}")
Nécessairement h ≠ 0 pour que g(h) soit défini.
DEUX CAS à étudier.
1er CAS : h positif , c'est à dire 0 < h < 0.1
Cas "évident "
Tu justifies que le numérateur et le dénominateur de g(h) sont positifs donc
g(h) > 0 donc |g(h)|= g(h)
Le dénominateur étant supérieur au numérateur , nécessairement |g(h)| < 1
2eme CAS : h négatif , c'est à dire -0.1 < h < 0
=\frac{h^2}{h(h+3)} "g(h)=\frac{h^2}{h(h+3)}")
Tu justifies que le numérateur de g(h) est positif et que le dénominateur est négatif donc g(h) < 0 donc |g(h)|=-g(h)
Tu peux écrire :
|=\frac{h^2}{-h^2-3h}=\frac{h^2}{-h(h+3)} "|g(h)|=\frac{h^2}{-h^2-3h}=\frac{h^2}{-h(h+3)}")
Ainsi écrits , le numérateur et le dénominateur de |g(h)| sont positifs
Si tu connais , tu peux raisonner par équivalences logiques
<img style="vertical-align:middle;" alt="|g(h)| < 1 \Leftrightarrow \frac{h^2}{-h(h+3)} < 1 \Leftrightarrow h^2<-h^2-3h \Leftrightarrow 2h^2+3h < 0 \Leftrightarrow h(2h+3) < 0" title="|g(h)| < 1 \Leftrightarrow \frac{h^2}{-h(h+3)} < 1 \Leftrightarrow h^2<-h^2-3h \Leftrightarrow 2h^2+3h < 0 \Leftrightarrow h(2h+3) < 0" src="http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?|g(h)| < 1 \Leftrightarrow \frac{h^2}{-h(h+3)} < 1 \Leftrightarrow h^2<-h^2-3h \Leftrightarrow 2h^2+3h < 0 \Leftrightarrow h(2h+3) < 0">
Tu justifies facilement que la dernière inégalité est VRAIE.
Par équivalences logiques , tu peux déduire que la première est VRAIE.
Bon travail !
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