Variation de l'aire d'un triangle

Bonjour, je suis en classe de seconde et mon prof de math nous a laissé un DM pour lundi avec un énoncé pas très clair:
ABC est un triangle isocèle et rectangle en A tel que AB= 4cm.
M est un point mobile appartenant au segment [AB].
Pour chaque point M, N est le point qui appartient au segment [AC] et tel que MN= 4cm.

Je ne comprend pas la dernière phrase: le segment MN est-il toujours égal à 4cm? Etant donné que le point M est mobile ce n'est pas possible donc ma question est quand est-ce que MN= 4cm?

Ensuite, on note x la distance AM (en cm) et f la fonction qui à x associe f(x) l'aire du triangle AMN (en cm²).

Quel est Df l'ensemble de définition de la fonction f? (on admet les triangles aplatis)

J'ai répondu que l'ensemble de Df est sur l'intervalle [0;4].

Montrer que pour tout x appartenant à Df, f(x)= ½ √(16x² - x^4).

Pour cette question là je suis complètement perdue, je ne comprend pas comment on peut arriver à ce résultat.

Merci d'avance pour votre aide

Bonjour ordimath,

As-tu fait une figure ? avec géogébra ?

Quelle est la nature du triangle AMN ? Exprime la mesure du côté AN en fonction de x.

Bonjour,
Bien sûr que MN peut valoir 4 bien que M se déplace sur [AB] ( N se déplace aussi).
Quelle est la nature du triangle AMN ?
Calcule AN.

Bonjour, le triangle AMN est un triangle rectangle mais j'ignore s'il est isocèle. Mais je comprend pas comment on peut calculer AN en fonction de x puisque x=AM. Et oui j'ai déjà réalisé la figure sur géogebra.

Peu importe qu'il soit isocèle ou pas.
Il est rectangle en A. Tu connais AM = x et MN = 4. Tu peux donc calculer AN.
Tu as entendu parler du th de Pythagore ?

Ok c'est bon pour AN. Mais je ne comprend toujours pas pour MN= 4 cm parce que que je vais devoir bouger le point M afin de varier l'aire du triangle. Il faudra alors que je bouge le point N en même temps que le point M pour que MN soit toujours égal à 4 cm?

Oui.
Quelle importance ?
Les calculs se font en fonction de x.
Utilise géogébra en faisant bouger M.
Sinon, procède ainsi :
Trace le triangle ABC
Choisis un point M sur le segment [AB]
Trace le cercle de centre M et de rayon 4 : il coupe le segment [AC] en N.

Recommence avec un autre point M, tu obtiens un autre point N avec toujours MN = 4.

D'accord merci beaucoup c'est plus simple avec le cercle. Et il y a aussi une autre question où je suis complètement perdue:

On note x la distance AM (en cm) et f la fonction qui à x associe f(x) l'aire du triangle AMN (en cm²).

Quel est Df l'ensemble de définition de la fonction f? (on admet les triangles aplatis)

J'ai répondu que l'ensemble de Df est sur l'intervalle [0;4].

Montrer que pour tout x appartenant à Df, f(x)= ½ √(16x² - x^4).
Je comprend pas du tout comment on peu arriver à ce résultat.

Ton ensemble de définition est correct ( en admettant les triangles aplatis).
Pour la question suivante, je t'avais demandé de calculer AN à l'aide du th de Pythagore : quel est ton résultat ?

J'ai fait:
AN²= x²-4²
AN²= (x-4)(x+4)
AN²=x²-16
AN=√x²-16
Après je ne sais pas :/.

Non : c'est le contraire :
MN² = AM² + AN²
donc AN² = MN² - AM²
AN²= 16 - x²

La factorisation est ici inutile
Attention : la racine carrée porte sur tout : AN = √(16 - x²)

Tu connais AM et AN : tu peux donc calculer l'aire du triangle AMN. C'est d'autant plus facile que c'est un triangle rectangle.
Tu sais calculer l'aire d'un triangle.

Oui je fais (AN×AM)÷2 mais ça me donne 1/2 √(16-x²) × x et non pas 1/2√(16x²-x^4).

Mais si : fais rentrer le x sous le radical : tous les nombres sont positifs.

Comment ça sous le radical? Sous la racine? Si oui, il faudra multiplier 16 et -x² par x?

Non : par x² car x étant positif, x = √(x²)
Donc ton aire est ègale à (1/2).√(x²).√(16-x²) = (1/2).√((x²)(16-x²))
Je te laisse achever.

D'accord merci. Une dernière question je suis pas très sûre que les résultats suivants soient justes:

a)Montrer que pour tout x appartenant à Df, 16x²-x^4=64-(x²-8)².
Ma réponse: 64-(x^4-16x²+64)
=64-x^4+16x²-64
=16x²-x^4

b)Résoudre l'équation 64-(x²-8)²=64.
Ma réponse: (x²-8)²=0
(x²-8)(x²+8)=0
Donc soit x²-8=0
x=√8
Soit x²+8=0
x=-√8

c)Résoudre l'équation f(x)=4
Je compte la résoudre en faisant 64-(x²-8)²=4 mais au final je tombe toujours sur un résultat en fonction de x.

Pour le a), c'est juste.
Mais par pour le b)
(x²-8)² = 0 oui, mais si tu développes (x²-8)(x²+8), tu trouves $x^4$ -64 qui n'est pas (x²-8)²
De plus, tu obtiens un carré négatif( si x² + 8 =0 alors x² = -8), ce qui est bizarre, et non pas -√8.

Si un carré est nul, le nombre lui-même est nul :
(x²-8)² = 0
donc x²-8 = 0
donc x² = 8
Et puisque x est positif : x = √8

D'accord et pour la résolution de l'équation f(x)=4?

Remplace f(x) par ce que tu as trouvé : tu t'apercevras que c'est justement l'équation que tu viens ( que je viens ?) de résoudre.

C'est ce que j'ai fait: 64-(x²-8)²=4
(x²-8)²=-60
x²-8=-√60
Après je bloque

Tu as oublié :

de multiplier par 2
d'élever au carré à droite :
f(x) = 4
(1/2)√(16x² - $x^4$ ) = 4
√(16x² - $x^4$ ) = 8
16x² - $x^4$ = 64
64-(x²-8)² = 64
C'est bien la même.

D'accord merci beaucoup c'était très bien expliqué j'ai absolument tout compris. Merci encore!

De rien.
A+

Bonjour ! voilà j'ai le même dm a faire mais pour demain et je ne m'en sors pas a la question D svp aidez moi !

d) en déduire la valeur maximum de f(x) et la valeur exact de x pour laquelle il est atteint .