Le sixième nombre de Fermat

Bonjour à tous.
Voici un petit défi :

Sans calculer F5, et donc sans poser de division, démontrer que F5 = $2^{32}$ +1 est divisible par 641.

Bonjour,

Cette question me fait penser aux congruences.

Vu que 641 est premier , on le décompose en somme .

$641 = 16 + 625 = 2$ ^4 $5^4$

donc $< s t r o n g > 2$ ^4 $5^{4 }$ ≡ 0 [641] ( formule 1 )

641=1+640=1+10x64=1+5.128=1+5. $2^7$

donc 1+5. $2^7$ ≡ 0 [641] ( formule 2 )

$2$ ^{32} $2^4$ . $2$ ^{28} $2^4$ . $(2$ ^7 $^4$

Vu la formule 1 : $2^{32}$ ≡ $5^4$ . $(2$ ^7 $^4$ [641] donc $2^{32}$ ≡ -(5. $2$ ^7 $^4$ [641]

Vu la formule 2 : $2^{32}$ ≡ $1)^4$ [641]

donc :

$2^{32}$ ≡ -1 [641]

$strong>2^{32}$ +1 ≡ 0 [641]

Conclusion : $strong>2^{32}$ +1 multiple de 641

Bonjour,
Oui, c'est aussi la méthode que je connais.
Sauf erreur de ma part, elle serait due à Euler.

Euler ? pourquoi pas ... Je l'ignore.

*J'ai pensé aux congruences car elles font partie du programme de Spécialité -Maths de TS ( j'ai déjà vu passer ce type d'exercice ). *

Il y a certainement d'autres solutions ! ...

Fermat lui-même aurait pu démontrer que F5 n'est pas premier grâce à son petit théorème : en effet, s'il existe un entier a inférieur à p et tel que $a^{p-1}$ ne soit pas congru à 1 modulo p, alors p n'est pas premier : pour n = 5 , p - 1 = $2^{32}$ , et il suffit de 32 élévations successives au carré ( modulo p ) pour calculer $a^{32}$ .
On vérifie alors que a = 3 convient (témoin de Fermat).
Mais on n'a pas connaissance que Fermat fit cela puisqu'il pensait au contraire que tous " ses " nombres étaient premiers.