Dérivées n-ièmes

Bonjour. J'ai un exercice à réaliser pour demain, et je suis complètement perdue... Est-ce que quelqu'un pourrait me lancer sur quelques pistes afin que je puisse y arriver s'il vous plaît ? Voici l'énoncer :

On note $f_0$ , $f_1$ , $f_2$ les fonctions définies sur R respectivement par $f$ _0 $x)=e^x$ , $f$ _1 $x)=xe^x$ et $f_2$ (x)= $x$ _2 $e^x$
On note $f$ _1 $^{(1)}$ =f' ; $f$ _1 $^{(2)}$ = f'' ; ... ; $f$ _1 $^{(n)}$ ; ... ; les dérivées successives de la fonction $f_1$ pour n≥ 1
On définit de même $f$ _2 $^{(n)}$

Démontrer par récurrence que :
a) $f$ _1 $^{(n)}$ = $nf_0$ + $f_1$
b) $f$ _2 $^{(n)}$ = $n (n - 1) f$ _0 $2nf_1$ + $f_2$
déduisez-en $f^{(n)}$ (x), où f est la fonction
x→ $(2 x$ ^2 $3x)e^x$

Merci d'avance cordialement

Bonjour,

Piste pour la première récurrence

Initialisation ( pour n=1)

$f_1^{(1)}(x)=f_1'(x)$

Tu pars de $f_1(x)=xe^x$

Tu dérives ( dérivée d'un produit ) et tu trouves $f_1^{(1)}(x)=e^x+xe^x$

Donc : $f_1^{(1)}(x)=f_1(x)+1f_0(x)$

Transmission

A un ordre n ( n ≥ 1) , tu supposes que : $f_1^{(n)}(x)=f_1(x)+nf_0(x)$

En dérivant $f_1(x)+nf_0(x)$ , tu dois trouver une dérivée ( qui est $f_1^{n+1}(x)$ ) qui sécrit $f_1(x)+(n+1)f_0(x)$

Merci pour votre réponse, je vais essayer de comprendre tout ça pour commencer ..

Oui , ce n'est pas très compliqué mais ce sont les notations qu'il faut assimiler .

J'ai vraiment du mal ... Je n'arrive pas à faire la b) malgré l'exemple ...

J'ai essayé pour la b) et je trouve : pour n=1, $f$ _2 $^n$ = $1(1-1)e^x$ + 2x1x $xe^x$ + $x$ ^2 $e^x$
= $2xe^x$ + $x$ ^2 $e^x$
C'est correct ?

C'est correct ( à condition que tu aies obtenu ce resultat en dérivant $f_2$ (x) )

Tu peux ainsi déduire ( pour l'initialisation ) que :

$f_2^{(1)}(x)=0f_0x+2.1f_1(x)+f_2(x)$

Oui c'est ce sque je trouve en dérivant. Par contre, je ne vois pas quoi mettre pour l'hérédité ? J'ai l'impression d'avoir déjà conclu ...

Tu as fait le cas n=1 ( initialisation)

Pourl'héredité , tu supposes la formule vraie à un ordre n ( n≥1) et tu démontres ( en dérivant ) que la formule est vraie à l'ordre (n+1)

En bref :

Tu supposes que : $f_2^{(n)}(x)=n(n-1)f_0(x)+2nf_1(x)+f_2(x)$ , ce qui veut dire :

$f_2^{(n)}(x)=n(n-1)e^x+2nxe^x+x^2e^x$

Pour obtenir $f_2^{(n+1)}(x)$ , tu dérives $f_2^{(n)}(x)$ et, après calculs et transformations , tu dois trouver :

$f_2^{(n+1)}(x)=(n+1)(n)e^x+2(n+1)xe^x+x^2e^x$ , ce qui veut dire que :

$f_2^{(n+1)}(x)=(n+1)(n)f_0(x)+2(n+1)f_1(x)+f_2(x)$

Merci beaucoup