intégrale généralisée et développement limité

Bonjour,
je souhaiterais un petit coup de pouce pour un problème :

Soit $f(t)=tan⁡−1tt−π2(1−t)f(t)=\frac{\tan^{-1} t}{t}-\frac{\pi }{2(1-t)}$ une fonction définie sur $)0;+∞()0;+\infty ($

montrer que f est prolongeable par continuité en 0 $→\rightarrow$ Ok, j'ai trouver que f est prolongeable en posant $f(0)=1−π2f(0)=1-\frac{\pi }{2}$

2)en utilisant la formule suivante valable pour tous x>0 : $tan⁡−1x+tan⁡−11x=π2\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi }{2}$ effectuer un développement limité d'ordre 2 de f au voisinage de l'infini.
3)en déduire que $∫0+∞tan⁡−1tt−π2(1−t)dx\int_{0}^{+\infty }{\frac{\tan^{-1} t}{t}-\frac{\pi }{2(1-t)}dx}$ est convergente

Je suis bloquer à la 2)... évidement, ce qui m'empêche de répondre à la 3)...mais j'ai mon idée pour la dernière.
Pour la 2), je vois bien que l'équation des arctan et f(t) sont proches, mais je n'arrive pas à établir de lien. J'ai fait des DL de chaque expressions, mais je ne vois où cela me mène.
Merci pour vos coups de pouce.