Travailler la démonstration : espérance et variance


  • O

    Bonsoir,

    J'ai un exercice dans un DM à faire et j'ai besoin d'aide.

    Voici l'énoncé :

    Soit X une variable aléatoire d'espérance E(X) notée aussi m, et d'écart type non nul (X), noté .
    Soit Y la variable aléatoire, définie par Y=
    X-m
    σ
    Démontrer que E(Y) = 0 et σ (Y) = 1.

    J'ai trouver un autre post où un correcteur donner la réponse mais je n'ai rien compris c'est pourquoi je vous demande de m'expliquer. et s'il y a une autre façon plus facile de répondre à l'exercice.

    Voici la réponse :

    E(Y)=E[(X-m)/σ]=1/σE(X-m)=1/[E(X)-E(m)]
    Or, E(m)=m car m est une constante et E(X)=m, donc E(Y)=0

    de même,
    sachant que σ=√[V(Y)] avec V(Y) variance de Y
    et V(Y)=V[(X-m)/σ]=1/σ²V(X-m) et sachant que V(X-m)=V(X) on a alors :
    V(Y)=1/²V(X) avec V(X)=², cela donne enfin V(Y)=σ²/σ²=1

    Merci


  • O

    J'ai oublié des σ à la dernière ligne c'est donc :

    V(Y)=1/σ²V(X) avec V(X)=σ², cela donne enfin V(Y)=σ²/σ²=1


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