Irrationalité du nombre e

Bonjour j'ai ce long exercice à effectuer et tout cela c'est pas trop mon fort même pas du tout ...
Soit φ et ψ les fonctions définies sur [0 ; +∞[ par :
φ(x) $e^{-x}$ -(1-x+x²/2 - $x^3$ /6)
et ψ(x) = $e^{-x}$ -(1-x+ x²/2 - $x^3$ /6 + $x^4$ /24)
Calculer φ'(x), φ''(x) et φ'''(x) pour x appartenant à [0 ; +∞[
Etudier le signe de φ''' sur [0 ; +∞[, et e déduire les variations puis le signe de φ'' sur [0 ; +∞[.
Déterminer le signe de φ' puis de φ sur [0 ; +∞[.

Vérifier que : Quelque soit x qui appartient à [0 ; +∞[, ψ'(x) = φ'(x).
En déduire les variations puis le signe de ψ sur [0 ; +∞[.
Déduire des questions précédentes un encadrement du nombre 1/e par deux nombres rationnels.
Encadrer e par deux nombres rationnels et déterminer l'amplitude de cette encadrement.

Démontrer que : pour tout réel x strictement positif,
1-x + x²/2! - $x^3$ /3! + $x^4$ /4! - $x^5$ /5! < $e^{-x}$
<1-x + x²/2! - $x^3$ /3! + $x^4$ /4! - $x^5$ /5! + $x^6$ /6!.
En déduire un nouvel encadrement de e par deux nombres rationnels, puis un encadrement de e d'amplitude 0.012 par deux nombres décimaux.
Démontrer par récurrence sur l'entier n que :
Quelque soit n appartenant à ℕ*, Quelque soit x appartenant à ]0 ; +∞[,
1-x + x²/2! - $x^3$ /3! + ... - $x^{2n-1}$ /(2n-1)!< $e^{-x}$
<1-x + x²/2! - $x^3$ /3! + ... - $x^{2n-1}$ /(2n-1)! + $x^{2n}$ /(2n)!.
On se propose, dans cette question, de démontrer que e est un nombres irrationnel, ce qui équivaut à démontrer que 1/e est un nombre irrationnel.
On suppose qu'il existe deux entiers naturels non nuls p et q tels que e = p/q.
Soit n un entier naturel, tel que 2n ≥ p.
Démontrer qu'alors q*(2n)!/p est un entier strictement compris entre deux entiers naturels consécutifs.
Conclure.

Merci d'avoir pour votre aide en espérant sincèrement en avoir

Bonsoir jojo552,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
Utilise les formules de dérivations.

Bonsoir, merci de la réponse rapide !
La première partie jusqu'à déterminer le signe de φ' et φ sur [0 ; +∞[ je pense que je ne devrais pas avoir de problème mais ensuite déjà quand je doit faire ψ'(x) = φ'(x) il me suffit bien de faire ( e-x -(1-x+x²/2 - x3/6) )' = ( e-x -(1-x+ x²/2 - x3/6 + x4/24) )' c'est bien ça non ?
Par contre je risque de bloquer à partir d'ou il faut déterminer un encadrement

Oui c'est la démarche, mais les expressions des fonctions sont elles correctes ?

Oui les expressions sont exact ...

Indique tes calculs.

Désolé du retard je n'avais pas accès, mes calculs sont les suivants, je bloque plus vite que je ne penser en faite :frowning2:
φ' = 3x² - 2x - 1 + $e^{-x}$
φ'' = 6x - 2 + $e^{-x}$
φ''' = 6 + $e^{-x}$
et déjà la je bloque pour étudier le signe de φ''' ainsi que les variations ..

Une erreur sur le calcul de la dérivée :

φ' = 3x² - 2x - 1 + $e^{-x}$
φ'' = 6x - 2 - $e^{-x}$
φ''' = 6 + $e^{-x}$

Applique $e^{ax}$ > 0 quel que soit x

Ben j'ai pas compris désolé ..
La dérivé de $e^{-x}$ reste $e^{-x}$ vu que la dérivé de la fonction est égal a la fonction elle même non ?

La dérivée de $e^x$ est $e^x$

Mais la dérivée de $e^{u(x)}$ est u'(x) $e^{u(x)}$

Ah oui exact j'avais pas pensée avec le - ..
Donc sa doit faire :
φ' = 3x² - 2x - 1 - $e^{-x}$
φ'' = 6x - 2 + $e^{-x}$
φ''' = 6 - $e^{-x}$
Enfin même en corrigeant ce problème je ne voit pas comment étudier le signe de φ'''

Résous 6 - $e^{-x}$ = 0

Sa fait 6 = $e^{-x}$ non ?

Oui,

Isole x en utilisant la fonction ln.

Euh ... Je n'ai pas vu la fonction ln

Les expressions des fonctions de départ sont elles correctes ?

Oui oui j'ai tout revérifier .. C'est bizarre, j'ai besoin impérativement de cette fonction ln ?

Tu es sur qu'il n'y a pas un - devant $e^{-x}$ ?

Sans ln, tu peux éventuellement utiliser la calculatrice.

Oui certain, après il y a pas mal d'erreur dans le livre donc sa pourrais être sa non ? Parce que si il y a ce - devant $e^{-x}$ ça change quoi ?