Période et dérivabilité


  • L

    Bonjour voici mon problème :
    Soit f une fonction définie par f=2cos(x) + sin(2x).

    1. Montrer que f est périodique. Déterminer sa période. (je ne sais absolument pas comment m'y prendre !)
    2. Etudier la dérivabilité de f. (Peut-on juste dire que les fonctions sinu et cosinus sont dérivable sur R ?)
    3. Calculer la dérivé de f'.

    Merci de votre futur aide.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Piste pour débuter ,

    x -> cosx est périodique de période 2π

    x -> sinx est périodique de période 2π

    Déduis en la période de x -> sin2x , puis de f


  • L

    La période de sin2x serait 4n ? ou 2n² ?


  • mtschoon

    Non...

    x -> sinx est périodique de période 2π veut dire que 2π est la plus petite valeur positive fixe que l'on peut ajouter à "l'angle" pour obtenir le même sinus

    $\text{\sin(a+2\pi)=\sin a$

    Donc :

    $\text{\sin(2x+2\pi)=\sin 2x$

    En mettant 2 en facteur , tu dois trouver qu'elle valeur il faut ajouter à x


  • L

    Donc pour trouver la periode si je comprend bien :
    f(x + T) = f(x)
    Donc en mettant deux en facteur j'ai 2(x+pi)
    f(x+x+pi) = f(x) ?
    Je ne comprend vraiment rien, on a jamais fais d'exercice la dessus !


  • mtschoon

    $\text{\sin(2(x+\pi))=\sin%202x$

    Donc x -> cosx a pour période 2π et x -> sin2x a pour période π

    Essaie d'en déduire la période de f ( qui doit être le plus petit multiple commun des deux périodes )


  • L

    Je ne connait même pas la notion de période, mais je vais dire période n ?


  • mtschoon

    Non , ce n'est pas π , c'est 2π ( mais je te conseille de prendre ton manuel pour comprendre la notion de période )

    Une vérification , pour t'éclairer un peu...:

    f(x+2π)=2cos⁡(x+2π)+sin⁡(2(x+2π))=2cos⁡(x+2π)+sin⁡(2x+4π)=2cos⁡x+sin⁡2x=f(x)f(x+2\pi)=2\cos (x+2\pi)+\sin(2(x+2\pi))=2\cos (x+2\pi)+\sin(2x+4\pi)=2\cos x+\sin 2x=f(x)f(x+2π)=2cos(x+2π)+sin(2(x+2π))=2cos(x+2π)+sin(2x+4π)=2cosx+sin2x=f(x)

    Si tu prenais π , ça conviendrait pour sin2x mais pas pour cosx :

    Regarde :

    f(x+π)=2cos⁡(x+π)+sin⁡(2(x+π))=2cos⁡(x+π)+sin⁡(2x+2π)=2cos⁡(x+π)+sin⁡2xf(x+\pi)=2\cos (x+\pi)+\sin(2(x+\pi))=2\cos (x+\pi)+\sin(2x+2\pi)=2\cos (x+\pi)+\sin 2xf(x+π)=2cos(x+π)+sin(2(x+π))=2cos(x+π)+sin(2x+2π)=2cos(x+π)+sin2x

    Tu ne retrouves pas 2cosx car cos(x+π) ne vaut pas cosx mais -cosx


  • mtschoon

    Pour la dérivabilité : oui ; Précise que f est une combinaison linéaire de fonctions dérivables sur R , donc f dérivable sur R.

    Indique l'expression trouvée pour f'(x) si tu as besoin d'une vérification.


  • L

    Jai trouve −4sin2-4sin^24sin2x -2sinx +2 est ce juste ?
    Il faut ensuite etudier le signe de f'(x) et lon me dit de resoudre −4X2-4X^24X2 -2X +2>0
    mais je ne trouve pas toute les solutions pourriez vous maider ?


  • mtschoon

    Ta dérivée est bonne.

    Ensuite , tu commences par résoudre -4X²-2X+2=0

    Tu dois trouver X=-1/2 , X=-1

    Vu que X=sinx , tu déduis que la dérivée d'annule pour sinx=1/2 et pour sinx=-1

    Vu que tu travailles sur une prériode , je suppose que tu as choisi [0,2π]

    Avec les angles remarquables , tu trouves les valeurs de x telles que sinx=1/2 et puis sinx=-1 ( au total , 3 valeurs de x )

    Dans ton tableau de variation ( x ∈ [0,2π] ) , tu places ces 3 valeurs.

    Il te reste enfin à trouver le signe de f'(x) sur chacun des 4 intervalles ainsi définis.

    REMARQUE : si tu préfères travailler sur des termes du premier degré , tu peux factoiser

    f'(x)=-2(sinx+1)(2sinx-1) et trouver le signe de chaque facteur puis du produit.

    Tu as le choix !


  • L

    Oui ce sont bien les valeurs aue je trouve mais comment estce que je reussi a trouver 3 valeurs ? Les angles remarquqbless ?


  • mtschoon

    Oui . les angles remarquables.

    Aide toi , si besoin , du cercle trigonométrique.

    sinx=1/2 pour x=π/6 et pour x=...

    sinx=-1 pour x=3π/...


  • L

    D'ou viens le n/6 ? Et le 3n ?


  • mtschoon

    J'espère que tu as compris que dans ma dernière réponse les pointillés (...) doivent être remplacés par les bonnes valeurs !

    Comme je te l'ai déjà dit , utilise les angles remarquables.

    Aide toi du cercle trigonométrique

    Tu places 1/2 sur l'axe des ordonnées et tu en déduis les valeurs remarquables des angles
    Idem pour -1

    (Bien sûr , donne des valeurs comprises entre 0 et 2π , si tu travailles sur [0,2π])


  • L

    Pour 1/2 jai ∏/6 et -5∏/6
    Et pour 1 j'ai ∏/2 et -3∏/2


  • mtschoon

    Comme je te l'ai déjà dit , donne des valeurs POSITIVES comprises entre 0 et 2∏

    Pour 1/2 , ∏/6 est bon mais pas l'autre

    Pour -1 , à revoir aussi.


  • L

    Je voulais dire 5∏/6 enfete !
    Et pour -1 il sagit de 3∏/2
    Mais je ne comprend pas en quoi ca mavance ? Je ne trouve pas de solution a linequation donnee !


  • mtschoon

    OK pour tes 3 valeurs qui annulent la dérivées

    ∏/6 , 5∏/6 et 3∏/2

    Tu as ainsi 4 intervalles sur lesquels tu doit trouver le signe de f'(x) :

    [0,∏/6[ , ]∏/6,5∏/6[ , ]5∏/6, 3∏/2[ , ]3∏/2 , 2∏]

    Tu chacun de ces intervalles , il te reste à trouver le signe de f'(x)

    Tu peux factoriser f'(x) en f'(x)=-2(sinx+1)(2sinx-1)

    Sur chaque intervalle ,en regardant le cercle trigonométrique , tu peux trouver le signe de chaque facteur donc celui du produit : Fais un tableau de signes.


  • L

    Oui mais lenonce nous dis de resoudre −4X2-4X^24X2 -2X + 2 > 0 !
    Donc il faut aue j'utilise cette methode et non celle que vous me proposer avec la factorisation ! Donc je trouve comme solution-1 et 1/2 ...


  • mtschoon

    Fais donc comme te dit l'énoncé , cela revient au même ( mais j'ignorais qu'il y avait ne méthode indiquée dans ton énoncé ! )

    Attention : ne confonds pas les solutions de X ( qui représente sinx) et les valeurs correspondantes de x

    -4X² -2X + 2 > 0 < = > -1 < X < 1/2 ( signe d'un polynome du second degré )

    D'ou -1 < sinx < 1/2

    En regardant sur le cercle trigonométrique , tu en déduis les intervalles associés pour x , sur [0 , 2∏] : tu obtiendras ainsi les valeurs de x pour lequelles f'(x) > 0

    Tu pourras en déduire les valeurs pour lesquelles f'(x) < 0


  • L

    Je ne te suis pas vraiment !
    Alors jai calculer les solution de −4X2-4X^24X2-2X + 2 et jobtiens X = -1 et X= 1/2
    je dis que X=sinx donc sinx = 1/2 ou sinx =-1
    d'ou sinx = 3∏/2 , sinx = 5∏/6 et sinx = ∏/6 et ensuite je fais un tableu de signe cest ca ?


  • mtschoon

    On trouve en rond !

    Si l'énoncé t'impose d'utiliser -4X² -2X + 2 > 0 , tu le fais ( relis mon dernier message )


  • L

    Oui mais je demmande si je peux poser X=-1 donc sinx=-1 d'ou sinx=3∏/2 et ainsi de suite.
    J'ai fait un tableau de signe avec toutes les valeurs précédentes


  • mtschoon

    Oui , c'est bien ce qu'il faut faire

    Au final , pour le signe de f'(x) , tu dois trouver :

    Pour 0 ≤ x< ∏/6 : f'(x) positif

    Pour x = ∏/6 : f'(x)=0

    Pour ∏/6 < x <5∏/6 : f'(x) négatif

    Pour x = 5∏/6 : f'(x)=0

    Pour 5∏/6 < x< 3∏/2 : f'(x) positif

    Pour x = 3∏/2 : f'(x)=0

    Pour 3∏/2 < x ≤ 2∏ : f'(x) positif


  • L

    Très bien c'est bien ce que j'ai trouvé !
    Merci beaucoup pour votre aide, bonne journée !


  • mtschoon

    Ce fut dur mais si tu as compris , c'est parfait !


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